Пределы на бесконечности и Асимптоты графика функции. Основные теоремы о пределах функций.

Определение. Число b называется пределом функции f (x) на бесконечности, если для любого числа  существует такое число N ( )>0, что , как только . В этом случае пишут .

Если в данном определении условие  заменить на , то говорят, что b есть предел функции f (x) на плюс бесконечности (на минус бесконечности) и пишут: .

Следует отметить, что понятия БМФ и ББФ сохраняются и в этих случаях с поправкой на то, что аргумент функции становится бесконечно большим по абсолютной величине.

Примеры:

7.1.  Не существует.

7.2. .

7.3.

В примере 7.3 при вычислении предела возникает ситуация вида , которая называется неопределенностью. Для устранения подобной ситуации следует числитель и знаменатель умножить на множитель, позволяющий свернуть числитель в разность определенных выражений.

7.4. Доказать, используя определение предела, что .

Доказательство. Возьмем произвольно число  и рассмотрим абсолютную величину выражения . Из последнего неравенства находим: . Итак, если обозначить , то при  будет выполняться неравенство , а это значит, согласно определению предела, число 3 является пределом заданной функции.

Асимптоты. Определение. Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции y= f (x) при , если ; иными словами, если отклонение графика функции y= f (x) от прямой y = kx + b неограниченно уменьшается при . Аналогично можно определить асимптоту при .

Из данного определения вытекает, что если , то y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x). В том случае, когда , график функции не имеет горизонтальной асимптоты, но может иметь наклонную асимптоту y = kx + b, где . Так как в этом случае , то тем более  или . Поэтому . Далее из равенства  вытекает, что .

Таким образом, можно сформулировать следующий алгоритм поиска асимптот графика функции y = f (x):

1. Вычисляется . Если этот предел существует и равен b, то y = b – горизонтальная асимптота; если , то нужно перейти к следующему шагу.

2. Вычисляется . Если этот предел не существует, то асимптоты нет, если предел существует и равен k, то следует перейти к следующему шагу.

3. Вычисляется . Если этот предел не существует, то асимптоты нет, если предел существует и равен b, то перейти к четвертому шагу.

4. Записать уравнение наклонной асимптоты y = kx + b.

Пример 7.5. Найти асимптоты графика функции .

1. ;

2. . Значит k =1/2;

3. , следовательно, b =-3;

4. y=0.5x-3.

Теорема 7.1. Для того чтобы число b было пределом функции f(x) при  необходимо и достаточно чтобы эта функция была представима в виде , где -БМФ при .

Доказательство. Пусть b является пределом функции f (x) при . Тогда для любого  такое, что . Но , поэтому  и следовательно  – БМФ при

Достаточность. Обратно, пусть теперь имеет место равенство , где -БМФ при . Но тогда из определения БМФ следует, что b есть предел заданной функции при .

Теорема 7.2. Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке а пределы А и В соответственно. Тогда функции  имеют в точке a пределы равные  соответственно.

Доказательство. Пусть {x_n} произвольная последовательность, сходящаяся к а. Тогда по определению предела функции по Гейне последовательности  сходятся к A и B соответственно. Используя соответствующие теоремы о сходимости последовательностей заключаем об истинности утверждения данной теоремы.

Теорема 7.3. (Теорема о зажатой функции). Пусть функции  определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, и функции  имеют, в точке а, предел равный A. Пусть, кроме того, выполняется неравенство  в некоторой окрестности точки а. Тогда .

Доказательство. Доказательство основывается на определении предела по Гейне и на теореме о зажатой последовательности.

Замечание. Эти теоремы остаются верными и для случаев, когда

Теорема 7.1 обычно используется при доказательстве существования предела если можно предсказать чему равен этот предел, а теорема 7.2 применяется когда необходимо вычислить предел сложных функций. Рассмотрим полезные примеры применения теоремы 7.3.

Пример 7.6. Первый замечательный предел .

Докажем, что этот предел действительно равен 1. Рассмотрим числовую окружность единичного радиуса. В первой четверти выделим дугу AM, соответствующую центральному углу x (0< x < Pi /2). Из точки М опустим перпендикуляр на радиус ОА. Обозначим буквой К полученную точку на радиусе ОА. Из точки А проведем перпендикуляр к радиусу ОА до пересечения с прямой, полученной продолжением радиуса ОМ. Точку пересечения обозначим буквой N. Пусть  – площадь треугольника OAM,  – площадь сектора OAM и  – площадь треугольника OAN. Очевидно неравенство . Вычисляя указанные площади и подставляя полученные значения в неравенство, находим

.

Поделим это неравенство на , так как  В результате получаем . Используя теорему 7.3, находим .

Из последнего соотношения и теоремы 7.2 получаем . Найдем теперь левый предел, то есть  (Так как функция  четная). Так как предел справа и слева существуют и равны, то по теореме 6.2  ч.т.д.

Замечание. При доказательстве предполагалось, что .

Пример 7.7. Второй замечательный предел .

Доказательство. Пусть x >1. По принципу Архимеда существует такое натуральное n, что выполняется неравенство n < x < n +1. Поэтому можно записать 1+1/(n +1)<1+1/ x <1+1/ n. Учитывая это неравенство, нетрудно получить

.

Очевидно, что поэтому  (Теорема 7.3).

Рассмотрим теперь Объединяя оба случая, окончательно имеем  ч.т.д.

Лекция 8.