Обобщающий определяющий контраст

Рассмотрим на примере исследование модели с пятью факторами. Возьмём реплику 2^5-2. Получаем 8 опытов вместо 32.

Возможны 12 решений, если приравнять х₄ парному взаимодействию, а х₅ - тройному.

х4=х1х2	х5=х1х2х3
х4=х1х2	х5=-х1х2х3
х4=-х1х2	х5=х1х2х3
х4=-х1х2	х5=-х1х2х3
х4=х1х3	х5=х1х2х3
х4=х1х3	х5=-х1х2х3
х4=-х1х3	х5=х1х2х3
х4=-х1х3	х5=-х1х2х3
х4=х2х3	х5=х1х2х3
х4=х2х3	х5=-х1х2х3
х4=-х2х3	х5=х1х2х3
х4=-х2х3	х5=-х1х2х3

Допустим, выбран первый вариант. Определяющими контрастами будут: 1= х₁х₂х₄, 1= х₁х₂х₃х₅. Перемножим эти определяющие константы, получим третье соотношение: 1= x₃x₄x₅.

Для того чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, вводят понятие обобщающего определяющего контраста:

1= х₁х₂х₄ = x₃x₄x₅ = х₁х₂х₃х₅.

Система смешивания столбца определяется умножением обобщающего определяющего контраста последовательно на х₁,х₂,х₃:

х1=х2х4=х1х3х4х5=х2х3х5;

х2=х1х4=х2х3х4х5=х1х3х5;

х3 = х1х2х3х4= х4х5х1х2х5;

х4=х1х2=х3х5=х1х2х3х4х5;

х5=х1х2х4х5=х3х4=х1х2х3;

х1х2=х4=х1х2х3х4х5=х3х5.

Если при выбранной реплике некоторые коэффициенты получаются отличными от нуля, например: b ₁₂ →β ₁₂ +β ₄+β ₃₅ +β₁₂₃₄₅, то ставят вторую серию опытов с другой репликой, напримерберут вариант 4.

Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей, причем, целесообразность применения ихвозрастает с ростом количества факторов. Эффективностьприменения дробных реплик зависит от выбора системы смешиваниялинейных эффектов с эффектами взаимодействия.

Планирование экспериментов при построении квадратичной модели

В некоторых случаях существенными могут оказаться коэффициенты при квадратных переменных, их кубов и т.д.

Для двухфакторного эксперимента модель может быть представлена выражением

y = b ₀ x ₀+ b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂+ b ₁₂ x ₁ x ₂+ b ₁₁ x ₁² + b₂₂ x₂²

Полученные вектор - столбцы   и  являются единичными столбцами, совпадающие друг с другом и с фиктивным столбцом x ₀. Очевидно, она включает в себя значения свободного члена β₀ и вклады квадратичных членов. Символически это можно записать: b ₀ ® β₀ +

Для квадратичной модели получается следующая система смешивания:

b ₀ →β₀ + β₁₁+ β₂₂, b ₁ →β₁,   b ₂ →β₂, b ₁₂→β₁₂.

 Следовательно, планирование эксперимента на двух уровнях не дает возможности получить раздельные оценки коэффициентов при квадратичных членах и фиктивной переменной x ₀.

Число уровней каждой из независимых переменных должно быть на единицу больше степени интерполяционного полинома. Для полинома второй степени число уровней должно быть равно трем.

Однако применение методов ПФЭ плана 3 ⁿ не является рациональным из-за резкого увеличения опытов эксперимента. Поэтому разработаны специальные методы построения планов второго порядка.

Например, в качестве двухфакторных планов второго порядка могут служить планы, представляемые вершинами и, по крайней мере, одной центральной точкой любого (n-1) мерного правильного многоугольника (который можно вписать в круг).

Пример. Имеем восьмиугольный план (рис.4.5, табл.4.6).

Получение планов второго порядка.

Для этого к ПФЭ типа 2 ⁿ добавляется центральная

точка с координатами (0,0,...0) и, так называемые,

 звёздные точки с координатами (0,0,..., ±α,...,0),

лежащие на сфере диаметра 2α. Т.е. план ПФЭ

достраивается до плана второго порядка. Такой план

Рис.4.5. Восьмиугольный план

называется композиционным планом.

Таблица 4.6.

Опыт	x1	x2	Описание
1	– 1	– 1	План 22 представлен квадратом ABCD
2	+1	– 1
3	– 1	+1
4	+1	+1
5		0	План представлен звёздными точками KLMN
6	–	0
7	0
8	0	–
9	0	0	Центральная точка

 Добавление двух сфер, образованных звездными точками и центральной точкой, к ПФЭ позволяет получить раздельные оценки b ₀ и b _{ii .} Все три сферы разуют композиционный план второго порядка.

В зависимости от критерия оптимальности плана, различают ортогональное, композиционное планирование и рототабельное композиционное планирование. План, приведенный в табл. 4.6, является рототабельным и обеспечивает получение раздельных оценок b ₀ и b _ii.

4.11. Ортогональное центральное композиционное планирование

Критерием оптимальности является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу этого свойства все коэффициенты модели определяются независимо друг от друга. Оценки коэффициентов уравнения регрессии находятся с неодинаковой дисперсией. Поэтому точность предсказания выходной величины в различных направлениях факторного пространства неодинакова.

4.12. Рототабельное композиционное планирование

Обеспечивает одинаковую точность во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра. Критерием оптимальности в рототабельном планировании

является условие = const при одинаковом удалении точек эксперимента от центра, т.е. R = const.

Примерами рототабельных планов являются планы, представляемые вершинами и, по крайней мере, одной центральной точкой любого (n-1) - мерного правильного многоугольника, который можно вписать в круг.

Композиционные центральные рототабельные планы также как и ортогональные состоят из трех сфер: сфера нулевого радиуса - центральные точки; сфера точек куба или гиперкуба и сфера звездных точек.

Равномерность расположения точек на сфере приводит к вырожденным матрицам. Для устранения вырожденности используют сферу нулевого радиуса с несколькими центральными точками. 

 Табл.4.7

n	a	Na	N0	Nc	N
2	1,414	4	5	4	13
3	1,682	6	6	8	20
4	2	8	7	16	31

где N_a – число звёздных точек; N₀ – число точек в центре эксперимента; N_c – кол-во точек куба (гиперкуба); N – общее число точек факторного пространства.

Матрица планирования рототабельного плана второго порядка для трехфакторного эксперимента будет представлена в таблице 4.8.

 

Таблица 4.8.

№ опыта	x0	x1	x2	x3	x12	x22	x32	x1x 2	x1x3	x2x3
	z0	z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
2	+1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	-1	+1
3	+1	-1	+1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	-1
5	+1	-1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1
6	+1	+1	-1	+1	+1	+1	+1	-1	+1	-1
7	+1	-1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	+1
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1
9	+1	-1,682	0	0	2,828	0	0	0	0	0
10	+1	+1,682	0	0	2,828	0	0	0	0	0
11	+1	0	-1,682	0	0	2,828	0	0	0	0
12	+1	0	+1,682	0	0	2,828	0	0	0	0
13	+1	0	0	-1,682	0	0	2,828	0	0	0
14	+1	0	0	+1,682	0	0	2,828	0	0	0
15	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
16	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
17	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
18	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
19	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
20	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Коэффициенты b ₀ , b_i, b_ii и b_ij рассчитывают по сложным формулам.

Так же рассчитывают дисперсии для T и F - критериев.

Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий

Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным.

…требуется определить такие координаты экстремальной точки (x ₁^*, x ₂^*… x_k ^*)

поверхности отклика y = f (x ₁, x ₂… x_k), в которой она максимальна (минимальна).