Статистический анализ экспериментальных данных

Из-за разброса результатов измерений физическую величину характеризуют не одним значением, а вероятностью появления в эксперименте того или иного её значения.

Функция распределения вероятности обнаружения физической величины,

показывает, какие значения чаще встречаются в эксперименте.

Разделение погрешности на естественную и приборную достаточно условное, но оно позволяет лучше понять природу погрешности.

Важно понимать взаимосвязь между тремя составляющими погрешности:

- естественную погрешность можно уменьшить, изменяя условия проведения эксперимента,

- погрешность, связанную с конечностью числа измерений – увеличивая их число,

- приборную – используя более точные методы и инструменты измерений.

 

Три основных источника систематических ошибок:

- методика, выбранная для проведения эксперимента,

- плохая работа измерительных приборов,

- ошибки самого экспериментатора.

Случайным называется событие, исход которого при определенном комплексе условий невозможно предсказать заранее.

Дискретная случайная величина может принимать значения только из конечного или счетного множества действительных чисел.

Непрерывная случайная величина может принимать любые значения конечного или бесконечного интервала.

Если зафиксировать уровни контролируемых факторов и провести n измерений отклика X, то в результате будет получен ряд близких, но отличных друг от друга значений x_i, (i=1,2,…, n), где x_i – i -ое измерение величины X;  x ₁ ,x ₂ ,…x_n – реализация случайной величины X.

Вероятность p(A) случайного события A – число от нуля до единицы, которое представляет собой предел частоты реализации события А при неограниченном числе повторений одного и того же комплекса условий.

Для дискретной случайной величины можно указать вероятность, с которой она принимает каждое из своих возможных значений конечного или счетного множества действительных чисел.  

Для непрерывной случайной величины задают вероятность ее попадания

в один из заданных интервалов области ее определения, поскольку вероятность того, что она примет какое-то определенное значение, стремится к нулю.

Дискретные случайные величины обычно задаются своим законом распределения в табличном или графическом виде. Каждомувозможному значению x₁, x ₂,... случайной величины X сопоставляетсявероятность p ₁, p ₂,... этого значения. В результате образуется таблица,состоящая из двух строк:

x ₁ x ₂ x ₃ ...

p₁ p ₂ p ₃ ...

Непрерывные случайные величины задаются (и дискретные также) функцией распределения.

Функция распределения F(x) определяет для всех действительных x вероятность того, что случайная величина X принимает значение не больше, чем x: F(x)=P(X<x).

Ее приращение на произвольном интервале (x ₁, x ₂ ) равно вероятности того, что случайная величина X попадет в данный интервал.

Плотность распределения – это первая производная (если она существует) функции распределения: f (x) = d F(x) / d x.

Плотность распределения вероятностей является неотрицательной функцией, т.е. f (x) ³ 0.

Параметр распределения – постоянная величина, от которой зависит функция распределения. Для нормального закона параметрами распределения являются М _х - математическое ожидание (характеризующее центр рассеивания) и. – дисперсия (характеризует степень рассеивания).

В качестве основных числовых характеристик случайной величины выступают, так называемые, моменты случайной величины. Чаще всего применяются моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальный момент первого порядка (k=1) называется математическим ожиданием (средним значением) случайной величины.

Начальным моментом k -ого порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k -й степени этой случайнойвеличины. Формулы для моментов k -ого порядка: m_k = M [ X^k ].

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания … Моменты центрированной случайной величины называются центральными. Центральный момент k -ого порядка для дискретной случайной величины определяется формулой

                                       m _k =  - ) ^k p_i

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание k -ой степени соответствующей центрированной случайной величины.

Первый центральный момент всегда равен нулю. Второй центральный момент называется дисперсией. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания….

Среднее квадратическое отклонение (СКО или стандарт) равно квадратному корню из дисперсии…

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Коэффициентом асимметрии: g ₁ = m ³ /s³

Четвертый центральный момент служит для характеристики «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределений. Эти свойства распределения описываются с помощью эксцесса. Эксцессом случайной величины называют отношение g ₂ = m ⁴ /s⁴ – 3. Для нормального распределения эксцесс равен нулю g ₂ = 0, а m ⁴ /s⁴ = 3.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывных величин – это значение случайной величины, при котором значение плотности вероятности максимально.

Медианой случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого P (X < Ме) = P (X > Ме). Одинаково верно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме.

Квантиль выборки представляет собой число х_р, ниже которого находится р -я часть (доли) выборки. Квантиль 0,25 – это такое значение х_р, ниже которого находится 25% значений переменной.