Точечные оценки параметров генеральной совокупности и их основные свойства.

Существуют точечные и интервальные оценки генеральных параметров.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. К таким оценкам относятся, например,

• выборочная средняя , или для сгруппированного вариационного ряда ;
• выборочная дисперсия , или для сгруппированного вариационного ряда , или ;
• выборочное среднее квадратическое отклонение и др.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны быть:

• несмещенными;
• эффективными;
• состоятельными.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.

Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками, т.е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.

Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборочной совокупности она стремиться к величине генерального параметра.

Например, выборочная средняя есть состоятельная, несмещённая оценка генеральной средней . Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка является также и эффективной.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала – доверительного интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Для оценки генерального параметра с помощью доверительного интервала необходимы три величины:

• значение выборочного показателя;
• критерий надежности , или показатель безошибочных прогнозов, значение которого определяется заранее, при планировании исследования, исходя из представления о большей или меньшей ответственности возможных результатов работы;
• ошибка репрезентативности или показатель точности выборочного параметра определяется на основе выборочных данных по формулам математической статистики.

Например, доверительный интервал для генеральной средней находится по формуле: при уровне значимости .

Свойства

1. Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , т.е.

.

В противном случае (если ) оценка называется смещенной.

Естественно в качестве оценки, т.е. приближенного значения неизвестного параметра, брать несмещенные оценки; в этом случае мы не делаем систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Состоятельность. Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру a при неограниченном возрастании n:

при .

Состоятельность оценки означает, что при достаточно большом числе опытов n со сколько угодно большой достоверностью отклонение оценки от истинного значения параметра по модулю меньше любого заранее выбранного числа e > 0.

3. Эффективность. Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями. Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие:

.

Оценка, обладающая свойством, называется эффективной, иначе, если при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

Условия несмещенности, состоятельности и эффективности являются условиями доброкачественности оценки, что является необходимым при обработке статистических данных.