Функция распределения вероятностей и ее свойства.

Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают . Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа , т. е. . Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Ее еще называют интегральной функцией распределения.

Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на этой оси, то функция распределения есть вероятность того, что случайная точка в результате испытания попадет левее точки .

Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения , , …, , функция распределения имеет вид

,

где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование распространяется на все те значения , которые по своей величине меньше . Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величины разрывна и возрастает скачками при переходе через точки , , …, , причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения (рис. 7). Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8).

Рис. 7. Рис. 8.

Рассмотрим общие свойства функций распределения.

Свойство 1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

.

Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что .

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.

.

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. при .

Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения рана нулю, а на плюс бесконечности функция распределения рана единице, т. е. , .

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением

Найти коэффициент и построить график . Определить вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение на интервале .

Решение. Так как функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, то при получим: . Отсюда . График функции изображен на рис. 9.

Исходя из второго свойства функции распределения, имеем:

.