Решениетригонометрическихнеравенств

1)а) sin2x> 0 б) sin(x + п/4) 0 в) cos > 0 г) сosx 1 д) tg(3x – 2) < -

Ответ:а) ; б) ;в) г) ;д)

2)

Ответ:x (- п/4 + 2пк;п/6 + 2пк) (5п/6 + 2пк;5п/4 + 2пк), k

3) cos³x sin3x + cos3x sin ³x < 3/8

cos³x (3sinx – 4sin³x) + (4cos ³x –3cosx)sin ³x = 3cos ³x sinx - 3 cosx sin ³x = 3cos x sinx

(cos²x – sin²x) = 3/4 sin4x; sin4x < 1/2;4x (5п/6 + 2пк;13п/6 + 2пк)

Ответ: x (5п/24 + пк/2;13п/24 + пк/2), k

4) 8sin⁶x – cos⁶x > 0

1 способ) (2sin²x)³ – (cos²x)³ = (2 – 3cos²x)(3cos⁴x – 6cos²x + 4);cos²x = t;

(2 – 3t)(3t⁴ – 6t² + 4) > 0; (Д< 0); cos²x < 2/3; < 2/3; cos2x <1/3

Ответ:x (1/2 arccos 1/3 + пk; п - 1/2arccos 1/3 + пk), k

2 способ) а)cosx = 0; 8sin⁶x> 0; sinx 0; x = п/2 + пk – решениенеравенства

б)cosx 0; 8tg⁶x> 1;

Ответ:x

5) > cos²x

а)sinx 0;sinx > 1 – sin²x; D = 5; sinx > б)sinx < 0; sinx <

Ответ: x

6)

Cоответствует 2 сист.1) 2)

18sin²x – 5sinx – 2 0; D = 13²; sinx = 1/2; - 2/9; 1/6 sinx 1/2;sinx 1/2;

Ответ:x [5п/6 + 2пк;13п/6 + 2пк], k

7) 1 – cosx<tgx - sinx;ОДЗ: x ; Отв: x (п/4 + пк;п/2 + пк)

Hеравенства с обратными тригонометрическими функциями.

а)

б) arcсos2x<arcos(1 – x)

в-1)

в-2)

г)

В 4четверти функции sinxи cosxвозрастают. Можно взять любую из них.

С учётом ОДЗ получим

д) Найти множество значений функции

- парабола. Ветви направленывверх. Рассматривается функция

е) Найти множество значений функции если

Удобно обозначить если

Самое близкое к из известных значений 0,5.

Так как функция убывает на промежутке -2четверть, то наименьшее значение она будет принимать в начале промежутка, а наименьшее – в конце.

Так как функция непрерывная, то её множество значений

ж) Найти множество значений функции

Так как функция убывает, то возьмёмarccos от каждой части неравенства и поменяем знаки.

Так как функция непрерывная, то её множество значений

 

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯРАБОТА– ПАРАМЕТРЫ

1) Решитенеравенство

log _1/2(3x + 5) log 3log _1/3(2x - 7) log 2

2) Решитеуравнение

sin²x - sinx - 3 = 0cos²x - cosx - 2 = 0

3) Решитеcистемууравнений

4) Решитенеравенство

5*) Прикакихзначенияхруравнениенеимееткорней?

cos²x – (р – 2)cosx + 4р + 1 = 0sin²x + (р + 2)sinx + 3р + 1 = 0

РЕШЕНИЕ1ВАРИАНТА.

1) log _1/2(3x + 5) log 3ОДЗ: х > - 5/3

3x + 5 1/4; х - ;Ответ:x (-1 ; - ]

2) sin²x - sinx - 3 = 0

D = (6 + )²;sinx = 6; - ;Ответ:x = (-1)^{к + 1} п/4 + пk, k

3)

;c = 3, d = 2илиc = - 2, d = - 3;Ответ:x = 1/2; y = 1

4) ОДЗ: х 2п/3 + 2пк

Ответ:x [arccos1/6 + 2пк;2п/3 + 2пк) (4п/3 + 2пк;2п – arccos1/6 + 2пк], k

5*) cos²x – (р – 2)cosx + 4р + 1 = 0 - ПАРАМЕТРЫ

СПОСОБ.

cosx = t; t² – (p – 2)t + 4p + 1 = 0; D = p² – 20p = p(p – 20);D< 0 прир (0; 20) –

D 0;

Уравнениенеимееткорней (D 0) втрёхслучаях. Рассмотрим3системы.

1)

Ответ:

2)

р 20

3)

Ответ: р <

а)р < 0,р² – 20р > 16 – 8р + р², р < - 4/3

б)р 4,(р 20), р² – 20р > р², р < 0,

в)р , ;

Ответ: уравнениенеимееткорнейпри р < - 4/3; р > 0

СПОСОБ.

cosx = t; t² – (p – 2)t + 4p + 1 = 0

t² – pt + 2t + 4p + 1 = 0; (t + 1)² = p(t – 4);

Рассмотримфункциюy(t) = ;

y = p+-+у'(t)

t -119y(t)

-101 функцияубывает; f(- 1) = 0; f(1) = - 4/3

Рассмотримпрямуюy = pивозможностьеёпересеченияс

-4/3даннымграфиком.

Ответ: уравнениенеимееткорнейпри р < - 4/3; р > 0

3СПОСОБ. y

cosx = t; t² – (p – 2)t + 4p + 1 = 0y = (t + 1)²

t² – pt + 2t + 4p + 1 = 0; (t + 1)² = p(t – 4);4

Рассмотрим y =

а)р > 0,

б)р = 0, 1 решение t

в)р < 0 (y(1) = 4, pt-4p = 0 при t = 4. См. рис.)-3-1014

Составимуравнениепрямой, проходящейчерезточки(1;4) и (4;0)y = - 4/3 x + 16/3

Следовательно, нетрешенийприk< - 4/3 (уголнаклонасположительнымнаправлениемосиабсциссстановитьсяменьше)

Ответ: уравнениенеимееткорнейпри р < - 4/3; р > 0

СПОСОБ.

cosx = t; t² – (p – 2)t + 4p + 1 = 0

D = p² – 20p = p(p – 20);D< 0 прир (0; 20) – решенийнет

Рассмотримфункциюy(t) = t² – (p – 2)t + 4p + 1

Функция не пересекает ось Оt при в трёх случаях (Д 0, t₂<t₁). Рассм.3системы.

y(- 1) = 5p; y(1) = 3p + 4; t₀ = ; D 0 – лишнееусловие

1)

t

t₂t₁ -1

2)

t

1t₂t₁

3)

-11t Ответ: уравнениенеимееткорнейпри р < - 4/3; р > 0

t₂t₁