Уравнения, связанные с тригонометрическими уравнениями.

а) ½х + 5½ sin x = x + 5.

Уравнение равносильно совокупности

Решением первой системы являетсях = -5, а также корни уравненияsin x = 1, x=p/2 +2pk, kÎZ, удовлетворяющие условиюx³ -5,т.е. p/2 + 2pk³ - 5, полагая-5» 5/3 p,имеемp/2 + 2pк³- 5 p/3,2pк ³-5p/3 -p/2,к ³ -13/12, k Î Z.к = -1, 0, 1, ….

Решением второй системы являютсякорни уравнения sin x = -1; x= - p/2 + 2pm, mÎZ,

удовлетворяющие условиюх< -5, т.е. - p/2 + 2pm < -5, полагая-5» -5/3p,имеем

- p/2+2pm < -5p/3,m < - 7/12, mÎZ.m= -1,-2, -3,….

Ответ:-5; p/2+ 2pк(к=-1, 0, 1,…);-p/2+2pm (p=-1, -2, -3,…).

б)

О Д З:(x + 18)cos x³0;cosx ¹ 0

Возведем обе части уравнения в квадрат: , =0

Решим данное уравнениеcos²x(x + 18) - (x + 18) = 0,(cos²x - 1) (x + 18) = 0,

cosx = 1,cosx= - 1,илиx = - 18.

x = 2pk,k Î Zx = p + 2pm,m Î Z

Произведемотбор корнейв соответствии с ОДЗ.

1)х = -18,(18 + 18)cos 18³ 0,cos 18 ³ 0(заметим, что угол, выраженный в радианах, принадлежит четвертой четверти, 18» 5,7p).cos 18 ³ 0 - верно.

2)х = 2pк,(2pk + 18) cos2pk³ 0,т.к. cos 2pk = 1, тоpk³18

2pk³ - 5,7 p,k³ - 2,85; k =-2,-1, 0, 1,….

3)х=p + 2pm, (p+ 2pm+ 18)cos (p + 2pm) ³0,т.к.cos (p + 2pm) = -1, то

p +2pm + 18£0,p +2pm £- 18,2pm£ - 5,7 p - p,m£ -3,35; m=-4, -5, -6,…

Ответ:- 18, 2pк,к=-2, -1, 0, 1,…;p+2pm, m = -4, -5, -6, -7,….

1)½х+3½ sin x=х + 3.Ответ: -3, p/2 + 2pк(к=0, 1, 2, …),

-p/2 + 2pm(m=-1, -2, -3,…)

2)2½x-6½cos x= x - 6.Ответ:6, 4p/3, 7p/3,p/3 + 2pк(к=2, 3, 4,…),

2p/3 + 2pm (m =0, -1, -2, …).

Нестандартныеприёмырешениятригонометрическихуравнений.

а) sin²пх + sin²пy = 0

Суммадвухнеотрицательныхчисел= 0толькотогда, когдакаждоеслагаемое=0

sin²пх =0иsin²пy = 0; пх = пкипy = пс, Ответ:x = к;у = с, гдек, с

б)1) sinxcos2x = 1/4

Умножим левую и правую часть на cosx 0 (Проверить, нет ли потери корней)

sin4x = cosx;sin4x – sin(п/2 – х) = 0; 2sin(5/2 x – п/4) cos(3/2 х + п/4) = 0

Ответ: x = п/10 + 2пk/5; x = п/6 + 2пk/3,k

2) 8cosx cos2x cos4x = 1* sinx 0

sin8x = sinx;sin8x – sinx = 0; 2sin7/2 xcos9/2 x = 0

Ответ: x = 2пk/7; x = п/9 + 2пk/9; x пk,k

Уравнения, решаемые на основе условия равенства одноимённых функций.

1)sin3,8 =sin1,2 ,т.к. 3,8 +1,2 =5 2) sin5,3 =-sin2,7 ,т.к. 5,3 -(-2,7 )=8 3) sin =sin , т.к. 4)sin3,2 sin0,8 , т.к.не выполнены оба условия	1)сos4,7 =cos3,3 ,т.к. 4,7 +3,3 =8 2) cos15 =cos11 ,т.к. 15 -11 =4 3) cos17,3 =cos11,3 ,т.к17,3 -11,3 =6 4)cos5,3 cos3,7 , т.к. не выполнены оба условия	1)tg9,7 =tg1,7 , т.к.9,7 -1,7 =8 2) tg8,7 =-tg1,3 , т.к. 8,7 -(-1,3 )=10 3) tg1,5 tg2,5 , т.к. тангенсы не существуют 4)tg4,3 tg(-2,5 ), т.к. не выполнены оба условия

а) sin3x= sin5x

1)5x - 3x = 2 k; x = kили2) 5x + 3x = (2к+1) ; x = Отв: пk; ,k

б) sinx = cos3x;cos( /2 – x) = cos3x

1)3x – ( /2 – x) = 2 k; x = или2) 3x + /2 - x = 2 к; x =

Ответ:x = ; x = ,k

в) tg3xtg(5x + /3) = 1

Делим обе части уравнения на tg3x. Это возможно, т.к. tg3x 0 по проверке

Каждая часть уравнения существует.x = ,k

Ответ:x = ,k

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями.

Определение: функции f и gназываются взаимно-обратными, если

Признак: функция обратима, если разным значениям аргумента соответствуютразные значения функции. Следствие: любая строго-монотонная функция обратима.

Свойства взаимно-обратных функций: свойства 1-3 см.определение; 4)обратная - ;

обратная - ; 5)обратная нечётной – нечётная; чётная функция обратной не имеет, кроме точечных ; 6)графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой у = х.(Чтобы задать формулой обратную функцию, достаточно решить уравнение относительно хи поменять обозначения )

Обратные тригонометрические функции

Графики функции	Свойства функций	Примеры
	y=sinx y=arcsinx
	y=cosx y=arccosx
	y=tgx y=arctgx
	y=ctgx y=arcctgx

Уравнения, решаемые по определению.

а) arcsin(sinx)= x – 2п

б) arcсos(cosx)= x – 3п/2

в) arctg = 2arctgx

г) arcсos(0,75 - x)=2arcsinx

2) Уравнения с использованием формул

а)

б)

в)

Квадратные уравнения

а)

б) (При решении ОДЗ не расширяется. Не находить)

4)

Возьмём sin от обеих частей уравнения.