Решение задач на сложение и умножение вероятностей

2.1. Разобрать решение задач, заполнив пропуски

Задача1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие ). Решение. 1 способ. Требование – хотя бы один из взятых 3-х учебников окажется в переплете – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих несовместных событий: событие – один учебник в переплете, два без переплета; событие – два учебника в переплете, один без переплета; событие – три учебника в переплете. Интересующее нас событие (хотя бы один из взятых учебников в переплете) можно представить в виде суммы этих событий: По теореме сложения несовместных событий: Найдем вероятности событий , , по формуле:     Окончательно получим:   2 способ. События – «хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет» и – «ни один из взятых трех учебников не имеет переплета» - противоположные, поэтому (сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1). Отсюда: . Вероятность появления события (ни один из взятых учебников не имеет переплета) равна: Тогда искомая вероятность:

Задача 2.На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или 3(событие )? Решение. Обозначим события: событие – извлечен жетон с четным номером; событие – извлечен жетон с номером, кратным 3. Интересующее нас событие (вынут жетон с номером, кратным 2 или 3) можно представить в виде суммы этих событий: Так как среди двузначных чисел от 1 до 30 есть числа одновременно четные и кратные 3, то события и совместны. По теореме сложения совместных событий: Вероятность событий и , по формуле классической вероятности соответственно равны Т.е.

Задача 3. В цехе работают 7 мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами. Решение. Введем обозначения событий: событие – первым отобран мужчина; событие – вторым отобран мужчина; событие – третьим отобран мужчина. Вероятность что, что первым будет отобран мужчина, равна: Вероятность того, что вторым будет отобран мужчина, при условии, что первым уже был отобран мужчина, т.е. условная вероятность события равна: Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т.е. условная вероятность события равна: Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, равна =

Задача 4. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранные билета окажутся выигрышными. Решение. 1 способ. Событие – первый билет выиграл.Событие – второй билет выиграл. Вероятность того, что первый билет выиграл . Вероятность, что второй билет выиграл, при условии, что первый выиграл . Вероятность выигрыша двух билетов: 2 способ. Событие – оба билета выигрышные.

Задача 5.Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор. Решение. Введем обозначения событий: событие – сработает первый сигнализатор; событие – сработает второй сигнализатор; событие – появилось только событие ; событие – появилось только событие . Из условия задачи следует, что и . Появление события равносильно появлению события , т.е. . Появление событию равносильно появлению события , т.е. . Таким образом, чтобы найти вероятность появления хотя бы одного из событий и , достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого из событий и . События и несовместные, поэтому применяем теорему сложения: Остается найти вероятности каждого и событий и . События и – независимы, значит и - независимы, а также и - независимы. Поэтому применима теорема умножения:

Задача 6. Для получения кредита предприятие обратилось к трем банкам. Статистические исследования показали, что вероятности выделения кредита этими банками соответственно равны ; и . Банки выделяют кредит независимо друг от друга, и если примут решение о его выделении, то в размере: первый банк – 160 млн. р., второй – 40 млн. р., третий – 200 млн. р. Найти вероятности того, что предприятие получит кредит в размере: а) 200 млн. р.; б) не менее 240 млн. р.; в) в любом размере. Решение. Введем события: – первый банк выделит кредит; – второй банк выделит кредит; – третий банк выделит кредит; – предприятие получит кредит в размере 200 млн. р.; – предприятие получит кредит в размере не менее 240 млн. р.; – предприятие получит кредит. а) Так как , то б) Так как , то в) Так как , то

Задача 7. Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один допустит ошибку. Решение. Событие – при измерении хотя бы один исследователь допустит ошибку. Событие – ый исследователь допустит ошибку (). Вероятности событий, противоположных соответственно равны: Искомая вероятность равна:

Задача 9. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле. Решение. Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие ) равна , где q – вероятность промаха. По условию . Следовательно, , или Отсюда, Искомая вероятность равна:

Задача 10.Сколько раз нужно подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы больше ? Решение. Событие – выпадение хотя бы один раз двух шестерок. Событие – выпадение двух шестерок при ом подбрасывании. Пространство элементарных исходов: . Число исходов, благоприятствующих событию : А число всех исходов Тогда Подбрасывание игральных кубиков – независимые испытания, поэтому можно воспользоваться формулой . По условию . Т.е. или . Из этого неравенства найдем . Логарифмируя, получим , откуда …

2.2. Решить задачу

Задача 11. В урне 30 шаров: 15 красных, 10 синих и 5 белых. Найти вероятность того, что наугад вынутый шар – цветной. Решение.

Задача 12. Вероятность того, что будет снег равна 0,6, а того, что будет дождь равна 0,45. Найти вероятность плохой погоды, если вероятность дождя со снегом равна 0,25. Решение.

Задача 13. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором – 3 белых и 9 черных шаров, в третьем – 6 белых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые. Решение.

Задача 14. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Найти вероятность того, что 1 и 2 июля будет ясная погода. Решение.

Задача 15. Из колоды в 52 карты выбирается наугад вероятность, что эта карта будет: 1) червонной масти или король треф; 2) червонной масти или один из королей?   Решение.

Задача 16.Цепь состоит из независимых блоков, соединенных в систему с одним входом и выходом. Рис.11 Выход из строя за время различных элементов цепи – независимые события, имеющие следующие вероятности ; ; ; . Отказ элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Найти надежность системы.

Решение.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Задача 17. На перевозку груза направлено четыре автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей. Решение.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Задача 18.Стрелок попадает в мишень с вероятностью – 0,6. Сколько ему надо сделать выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,8 можно было утверждать, что он попал хотя бы один раз? Решение.