Алгебра событий. Классификация событий

Операции над событиями

2.1. Записать определение. Привести свой пример. Пример: 1) Два стрелка стреляют в мишень одновременно, событие состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие - в том, что в мишень попадает 2-й.   2) …

Операция

Определение

Смысл операции для данного примера

Событие или Ω A B     Рис.2

1) событие означает, что мишень поражена, или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков.

Событие или Ω A B     Рис.3

1) событие заключается в том, что в мишень попали оба стрелка.

Событие или Ω A B     Рис.4

1) событие заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а второй промахнулся.

Замечание. В примере 1 рассмотрены совместные события. Чему равно и , если и несовместные события? Дайте иллюстрацию.

2.2. Если , , то каковы выводы относительно событий и ? Дайте иллюстрацию.

2.3. Представить событие с помощью операций через и

1)

Событие - извлечен одноцветный шар. Событие - извлечен белый шар. Событие - извлечен черный шар.

2) Решение. Схема в течение времени t будет работать безотказно только тогда, когда оба элемента не откажут, т.е. одновременно будут работать в течение времени t:   .

Рис.5 Релейная схема (рис.5) состоит из двух элементов. Событие - схема в течение времени t работает безотказно. Событие - 1-ый элемент работает безотказно в течение времени t. Событие - 1-ый элемент работает безотказно в течение времени t.

3)

Рис.6 Событие - цепь пропускает ток. События - ый блок пропускают ток.

4) а)   б)   в)

Акционер имеет четыре акции. Пусть событие состоит в том, что я приобретенная им акция обесценилась. Описать события , заключающиеся в том, что:   а) ни одна из акций не обесценилась; б) только одна акция упала в цене; в) не более двух акций обесценились;

2.4.При проверке документа можно обнаружить четыре нарушения в его оформлении. Рассматриваются события: - обнаружено ровно одно нарушение; - обнаружено хотя бы одно нарушение; - обнаружено не менее двух нарушений; - обнаружено ровно два нарушения; - обнаружено ровно 3 нарушения; - обнаружены все нарушения. Указать в чем состоят события: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; e) . Решение. а) , поэтому б) , поэтому в) , поэтому г) , поэтому д) , , поэтому е) , поэтому

2.5. Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, выбирают наудачу одного. Пусть событие заключается в том, что он — юноша. Событие в том, что он не курит, а событие в том, что он живет в общежитии. а) Описать событие . б) При каком условии будет иметь место тождество ? в) Когда будет справедливо соотношение ? г) Когда будет верно равенство , будет ли оно иметь место, если все юноши курят? Решение.

2.6. Имеется 4 изделия, каждое из которых может быть либо бракованным, либо хорошим. Введем события: - хотя бы одно изделие бракованное; - бракованных не менее двух изделий. Описать события: , , , , , . Решение.

Определение вероятности

Основные теоремы

Решение.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                Задача 17. На перевозку груза направлено четыре автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей. Решение.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Задача 18.Стрелок попадает в мишень с вероятностью – 0,6. Сколько ему надо сделать выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,8 можно было утверждать, что он попал хотя бы один раз? Решение.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 Задача 19.Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7. Решение.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

Повторение испытаний

5.1. Заполнить пропуски и записать соответствующие формулы.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно раз (безразлично, в какой последовательности), равна:     Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит не менее и не более раз, равна:   Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит хотя бы один раз, равна:
Теорема Пуассона. Если существует , то справедливо приближение Пуассона     где   Практическое использование формулы допустимо при , .
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна