Уравнение гармонического осциллятора. Собственные частоты и периоды колебаний математического, физического и пружинного маятников

Из уравнения связи , обозначив , придем к уравнению , называемому дифференциальным уравнением гармонических колебаний или уравнением гармонического осциллятора без затухания. Его решением является функция . Величина называется собственной частотой колебаний системы без затухания.

Собственная частота и период колебаний математического маятника (материальной точки подвешенной на нерастяжимой нити длиной l): , . Для пружинного маятника – , , где m – масса тела, подвешенного к пружине с жесткостью k.

Рис.73

Для физического маятника (тела с распределенной массой m), центр масс которого находится на расстоянии от оси колебаний О (рис.73) и он по теореме Штейнера имеет момент инерции относительно этой оси: , . Период колебаний физического маятника можно представить в виде , где величина называется приведенной длиной физического маятника, который колеблется с тем же периодом, что и математический маятник на нити длиной .

Если определить экспериментально, то можно найти момент инерции тела со сложной конфигурацией, рассчитать который теоретически довольно сложно. Для этого надо найти новую ось качания маятника , относительно которой он колеблется с тем же периодом , что и относительно начальной оси колебаний O. Расстояние и будет приведенной длиной физического маятника (рис.73). Приведенную длину маятника можно найти также по определенному экспериментально периоду собственных колебаний маятника , тогда .

Положение ЦМ тела определяется путем нахождения точки равновесия тела либо путем подвешивания тела в двух точках. Если провести из точек подвеса тела две прямые в направлении его силы тяжести, то пересечение этих прямых даст положение ЦМ тела.

Пример 1. Найти период колебаний стержня длиной l и массой m с насаженным на него диском радиусом R и массой M, находящимся на расстоянии длины стержня от его конца, если стержень подвешен на расстоянии его длины от его второго конца. Ось колебаний перпендикулярна плоскости диска.

Дано: l, m, R, M. Найти:

Решение: Решение задачи построим в виде последовательного алгоритма. Центры масс стержня и диска находятся на расстоянии и от точки подвеса О. Положение общего центра масс системы относительно точки О . Собственные моменты инерции тел и . Моменты инерции тел относительно точки О по теореме Штейнера и . Полный момент инерции системы относительно точки О . Период колебаний физического маятника .

Ответ: .

Пример 2. На каком расстоянии от ЦМ надо подвесить физический маятник, собственный момент инерции которого рассчитывается по формуле , чтобы его период колебаний был минимальным? Рассмотреть случаи стержня длиной l, равностороннего треугольника с длиной стороны b и круглых тел радиуса R – диска (сплошного цилиндра), кольца (полого цилиндра), шара и сферы.

Дано: длина стороны треугольника, для круглых тел , . Найти:

Решение: Период колебаний физического маятника

Период колебаний маятника минимален , если подкоренная функция или . Откуда . Подставляя получим . Минимальный период колебаний маятника .

Ответ: , .

Пример 3. Найти период колебаний круглых тел (обруча или полого цилиндра, диска или сплошного цилиндра, шара) относительно оси колебаний проходящей вдоль их образующей (вдоль края кольца и диска перпендикулярно их плоскости). Во сколько раз отличается этот период от минимального периода колебаний маятника?

Дано: ,

. Найти:

Решение: Момент инерции круглых тел относительно оси, проходящей вдоль их образующей, равен . Период колебания маятника относительно этой оси . С учетом примера 2 отношение периодов колебаний

Ответ: ,

Пример 4. В опыте найдено положение двух осей О и физического маятника массой m, находящихся по разные стороны от его ЦМ, на расстояниях и от него, относительно которых он колеблется с одинаковым периодом. Найдите приведенную длину, период собственных колебаний и собственный момент инерции маятника, и его моменты инерции относительно осей О и .

Дано: . Найти:

Решение: Согласно формуле для периода колебаний физического маятника и определению его приведенной длины . Отсюда следует, что расстояния и от ЦМ маятника до осей колебания и качания маятника O и являются корнями квадратного уравнения . Согласно теореме Виета корни это уравнения удовлетворяют соотношениям и . Откуда . Моменты инерции маятника относительно осей O и равны и .

Ответ: .