К И Н Е М А Т И К АП О С Т У П А Т Е Л Ь Н О ГО И В Р А Щ А Т Е Л Ь Н О Г О Д В И Ж Е Н И Я

МЕХАНИКА

Учебное пособие для самостоятельной работы

По курсу физики

Санкт-Петербург

Механика. Учебное пособие для самостоятельной работы по курсу физики.

 

Альтмарк А.М., В.М. Вяткин, В.В.Морозов, Посредник О.В.

Под редакцией.

 

Содержит основные формулы и примеры решения задач по курсу «Общая физика», раздел «Механика». Предназначено для студентов 1-го курса технических факультетов СПбГЭТУ «ЛЭТИ».

 

О Г Л А В Л Е Н И Е

Стр.

К И Н Е М А Т И К АП О С Т У П А Т Е Л Ь Н О ГО И В Р А Щ А Т Е Л Ь Н О Г О Д В И Ж Е Н И Я

Поступательное движение 7

Вращательное движение 16

Связь между линейными и угловыми величинами 17

Относительное движение 18

Сложное поступательно-вращательное движение тела 21

Среднее значение физической величины. Средняя скорость и ускорение 23

Д И Н А М И К А П О С Т У П А Т ЕЛ Ь НО Г О Д В И Ж Е Н И Я

Центр масс тела и системы тел 26

Силы в механике 31

9. Законы Ньютона 35

Второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета. Силы инерции 40

Второй закон Ньютона для вращающегося тела 46

Второй закон Ньютона для системы тел 48

Закон сохранения импульса системы тел и положения ее центра масс 49

Столкновения тел 52

Работа и мощность силы. Диссипативные силы 53

Теорема о кинетической энергии тела или основная теорема механики 54

Консервативные силы. Потенциальная энергия тела в поле консервативной

Силы 57

Связь между потенциальной энергией и консервативной силой 57

Потенциальная энергия взаимодействия тел 57

Полная механическая энергия тела. Закон сохранения полной механической 58 энергии

Гидростатика и гидродинамика 59

Д И Н А М И К А В Р А Щ А Т ЕЛ Ь Н О Г О Д В И Ж Е Н ИЯ

Моменты силы и импульса тела 64

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера 64

Уравнение моментов или основное уравнение динамики вращательного

Движения 75

Закон сохранения момента импульса 80

Работа и мощность момента силы 82

Кинетическая энергия вращающегося тела 83

К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н О Е Д В И Ж Е Н И Е

Гармонические колебания 88

Определение начальной фазы колебаний 90

Уравнение гармонического осциллятора. Собственные частоты и периоды колебаний математического, физического и пружинного маятников 91

Кинетическая, потенциальная и полная энергия колеблющегося тела 93

Затухающие колебания. Уравнение гармонического осциллятора с затуханием 94

Характеристики колебательной системы с затуханием 96

Вынужденные колебания 97

Введение.

Вы поступили в ЛЭТИ, чтобы получить высшее образование. Это значит, что Вами принято мотивированное решение за годы учебы в университете овладеть знаниями и умениями, необходимыми для начала самостоятельной деятельности. И, конечно же, чем лучше удастся претворить в жизнь принятое решение, тем быстрее и успешнее пойдет Ваша карьера, тем интереснее будет работать, тем выше будет качество Вашей жизни.

Тем не менее, среди студентов, часто бытует мнение, что профессиональные знания и умения они получают только при изучении специальных дисциплин. Это – заблуждение. Фундаментальные знания являются основой для успешного изучения специальных дисциплин. Нельзя построить здание на песке, нельзя получить профессиональные знания и умения без фундаментальных дисциплин.

Физика занимает особое место в подготовке специалиста с высшим образованием. В государственном образовательном стандарте приведены квалификационные характеристики специалиста, а также перечень знаний и умений, необходимых для начала самостоятельной деятельности. Спросите любого успешного специалиста, и он Вам скажет, что основы большинства этих знаний и умений формируются при изучении физики.

Более того, специалисту с высшим образованием необходимо постоянно решать различные задачи: технологические, конструкторские, исследовательские. Причем, в процессе самостоятельной деятельности приходится не только искать способ решения этих задач, но и формулировать технические задания для себя и других, т.е. составлять условия задачи.

Именно поэтому среди компетенций, необходимых специалисту с высшим образованием, важная роль уделяется познавательной деятельности (умение учиться – это тоже задача, которую каждый решает для себя), экспериментальной деятельности (умение выбрать методику, правильно организовать измерения и грамотно обработать их результаты), грамотному выполнению расчетов. В этом перечне легко заметить основные виды занятий, которые проводятся при изучении курса физики в вузе. Будьте уверены, что чем раньше Вы начнете вырабатывать в себе соответствующие умения и навыки, тем лучше Вы будете подготовлены к дальнейшему обучению и самостоятельной работе.

Изучив курс физики, Вы поймете, что физика обладает той особенностью, что методы, принципы и понятия, используемые в физике, так или иначе присутствуют практически в любой дисциплине (и не только инженерной), таким образом, изучая физику, студент приобретает элементарные навыки ремесла, которые, часто интуитивно, позволяют специалисту применить тот или иной технический прием в своей работе. Однако, достигнуть этого можно лишь в результате упорного труда, систематического, целенаправленного и самостоятельного

Учебное пособие, которое Вы сейчас читаете, как раз и предназначено для правильной организации самостоятельной работы и подготовки к лабораторно-практическим занятиям, в той их части, где требуется выполнение индивидуального домашнего задания.

В этой книге собран материал, относящийся к разделам «Молекулярная физика», «Основы термодинамики», «Элементы статистической физики», «Явления переноса». Пособие построено таким образом, что разбираемые задачи постепенно усложняются в каждом разделе, так, что последние в списке задачи несколько выходят за рамки стандартной программы нашего университета. Тем не менее, мы рекомендуем ознакомиться и с этими задачами, хотя для выполнения индивидуального задания, на наш взгляд, достаточно понять несколько первых задач в каждом разделе. Мы надеемся, что среди читателей этой книги есть любознательные студенты, интересующиеся физикой.

При внимательном анализе разного рода задач по различным разделам курса и дисциплинам можно отчетливо видеть, что различие их между собой состоит только в содержании и цели, а по характеру деятельности, нужной для решения, все они практически одинаковы. Более того, сравнительный анализ приемов решения производственных и учебных задач показывает, что они имеют сходную структуру, иначе говоря, при решении любой задачи необходимо выполнять одни и те же этапы.

1. Анализ содержания задачи, краткая запись условий и требований.

2. Поиск способа решения задачи и составление плана решения.

3. Решение задачи, проверка правильности решения, оформление решения.

4. Анализ выполненного решения, отбор информации, полезной для будущей деятельности.

Общие приемы, которые вырабатываются у Вас в процессе учебы, и практического решения учебных задач, позволят Вам освоить общий подход к решению задач любого типа, ознакомиться с основными особенностями каждого из этапов процесса решения. В конечном итоге Вы получите умения, необходимые для самостоятельной работы, т.е. овладеете тем, что сейчас называют «практико-ориентированной» подготовкой.

В этом. Вам поможет серия учебных пособий, подготовленных ведущими преподавателями кафедры

Поступательное движение

Существуют следующие методы описания поступательного движения тела (материальной точки): энергетический, векторный, координатный и естественный.

Энергетический подход к решению задач кинематики. В этом подходе используется закон сохранения полной механической энергии, согласно которому, если тело движется только в поле консервативных сил (в большинстве задач достаточно знать, что на тело не действуют силы трения), то его полная механическая энергия сохраняется: , где кинетическая энергия тела, потенциальная энергия тела в поле силы тяжести земли, m – масса тела, v – его скорость, h – высота тела над поверхностью земли, g – ускорение свободного падения.

Для двух произвольных точек траектории при движении тела в поле силы тяжести закон сохранения энергии имеет вид

,

Откуда .

Отсюда следует, что независимо от траектории движения тела на одной и той же высоте оно имеет одинаковую скорость . Направления векторов скорости тела в разных точках траектории могут быть при этом разными.

Если учесть, что ,где , то можно написать закон сохранения энергии в направлении оси Y

Пример 1. Тело брошено с высоты под некоторым углом α к горизонту с начальной скоростью (рис.1). Найти скорость падения тела на землю, его максимальную высоту подъема и направление вектора его скорости к горизонту при падения на землю. Зависит ли скорость падения тела на землю от угла α его броска к горизонту?

(рис.1)

Дано: 1) .

Найти:

Решение: Согласно закону сохранения энергии для точек броска и падения тела на землю

скорость падения тела на землю .

Используя закон сохранения энергии в направлении оси Y для точек броска и

максимальной высоты подъема тела , найдем

.

Угол падения тела на землю определяется условием .

Ответ: независимо от угла α броска тела оно упадет на землю с одной и той же скоростью . Однако направления к горизонту векторов скорости тела при разных углах α его броска при его падении на землю будут разными и определяются условием . Максимальная высота подъема тела .

Вращательное движение

Вращательное движение тела описывается углом поворота тела , его угловой скоростью ω и угловым ускорением ε, которые являются аналогами величин s, v, , используемыми для описания поступательного движения тела. Согласно определению

.

Параметры являются векторами. Направление векторов совпадает с направлением оси вращения тела (рис.7) и связано с ним правилом правого винта: если правый буравчик вращать по направлению вращения тела, то направление его движения укажет направление векторов .Вектор ε в случае фиксированной неподвижной оси вращения также направлен вдоль оси вращения. Он параллелен вектору ω при ускоренном вращении тела и антипараллелен ему при его замедленном вращении.

Рис.7

Элементарный поворот d ϕ тела всегда вектор, однако угол поворота тела является вектором только при вращении тела вокруг фиксированной оси его вращения.

Изменение угловой скорости тела Δ ω и угол его поворота за время вращения тела t равны

,

где – начальная угловая скорость и начальное угловое положение тела при t=0.

При вращении тела с постоянным угловым ускорением уравнения вращательного движения имеют вид

.

где + ε и – ε соответствуют ускоренному и замедленному вращению тела.

Наряду с угловыми величинами (рад) и ω (рад/с) для описания вращательного движения используются величины N (об) – число оборотов тела и n (об/с) – частота вращения тела, определяемые соотношениями и . В терминах этих величин уравнения вращательного движения при имеют вид

Однако, если ε =0 и то .Только в этом случае частота вращения тела может рассчитываться по формуле и можно ввести понятие периода T вращения тела (n=1/T). Это можно отнести к описанию вращения Земли вокруг своей оси.

 

3. Связь между линейными и угловыми величинами

Угловые величины для всех точек вращающегося тела относительно любых параллельных осей вращения одинаковы, а линейные величины различны. Для установления связи между ними используют определение радианной меры угла , опирающегося на дугу длиной s окружности радиуса R: и определения линейных величин. В результате получим следующие уравнения связи

,

где в случае Угол между векторами a и v в некоторый момент времени t определяется соотношением

рис.8

В теории представляет интерес векторная связь между векторами v и ω: , где r -вектор, проведенный из произвольной точки О на оси вращенияZ в произвольную точку вращающегося тела (рис.8). Направления векторов v и ω cвязаны между собой правилом правого винта. Переходя к скалярной форме, получим , где – угол между векторами ω и r, расстояние от рассматриваемой точки тела до его оси вращения Z или радиус окружности, по которой эта точка вращается.

Пример 1. Тело, вращающееся по окружности радиуса R с постоянным угловым ускорением, увеличило свою частоту вращения от до оборотов в секунду, совершив при этом оборотов. Найти угловое ускорение вращения тела и время его вращения, угол его поворота, начальную и конечную угловые скорости. Чему равны путь, пройденный телом вдоль окружности, его начальная и конечная скорости, касательное, центростремительное и полное ускорение?

Дано: Найти:

Решение: Построим решение задачи в виде последовательного алгоритма. Число оборотов N тела при дается уравнениями

.

Откуда находим угловое ускорение и время вращения тела

.

Угол поворота и угловые скорости тела: . Линейные величины: .

Ответ: , ,

.

Относительное движение

Рассмотрим произвольную неподвижную систему отсчета XOY с началом в точке О, и движущуюся систему отсчета , положение начала координат которой относительно точки О задается радиус-вектором , а точка движется относительно XOY со скоростью и ускорением .Обозначим через положение, скорость и ускорение некоторой точки (она может принадлежать и твердому телу) в системе координат XOY, а через те же параметры этой точки в системе координат

Рис.9

 

Учитывая, что (рис.9) и последовательно дифференцируя по времени обе части этого равенства, придем к следующим уравнениям связи

между скоростями и ускорениями рассматриваемойточки в неподвижной и движущейся системах отсчета.

Движение в неподвижной СО называют также абсолютным, движение подвижной СО относительно неподвижной – переносным, а движение тела в движущейся СО – относительным.

Пример 1. Тело, движущееся со скоростью , сталкивается абсолютно упруго с движущейся со скоростью вертикальной массивной стенкой. Найти скорость тела после соударения со стенкой.

Дано: . Найти:

Решение: Будем считать стенку, движущуюся со скоростью , движущейся системой отсчета. Обозначим скорость тела в этой системе отсчета. Тогда скорость те ладо его столкновения

. После столкновения со стенкой тело вследствие абсолютно упругого удара приобретет относительно стенки скорость , и его скорость станет равной . Из этих двух уравнений получим: .

В проекциях на направление движения тела и стенки при их встречном движении получим . В случае же движения стенки и тела в одном направлении . Отсюда следует: если стенка движется от тела со скоростью , то тело после столкновения с ней остановится .Чтобы тело отскочило от удаляющейся стенки, она должна удаляться от него со скоростью .

Ответ: .

Пример 2. Скорость струи пара перед попаданием на лопатки паровой турбины равна . Какой должна быть скорость лопаток, чтобы вся кинетическая энергия струи пара могла перейти в энергию вращения турбины?

Решение: Чтобы вся кинетическая энергия струи пара перешла в энергию вращения турбины, его скорость после отражения от лопаток должна равняться нулю . Согласно примеру 1 получим . Это соотношение выполняется в рабочем режиме турбины.

Ответ: .

Пример 3. Два автомобиля движутся по одной дороге. Скорость первого автомобиля , а второго – . Найти относительную скорость движения автомобилей при их движении в одном направлении и навстречу друг другу.

Дано: . Найти:

Решение: Свяжем с первым автомобилем движущуюся СО. Тогда , а относительная скорость второго автомобиля относительно первого , его абсолютная скорость относительно земли . Откуда относительная скорость автомобилей .

При движении автомобилей в одном направлении в проекциях на направление их движения получим . При встречном движении автомобилей в проекциях на направление движения любого из автомобилей: .

Ответ: при движении автомобилей в одном направлении, при встречном движении автомобилей.

Пример 4. Два тела бросают с поверхности земли вертикально вверх с начальными скоростями и с задержкой по времени, равной τ. Найти относительную скорость движения тел в произвольный момент времени.

Дано: . Найти:

Решение: проекции абсолютных скоростей тел на вертикальное направление их движения равны и . Проекция относительной скорости тел на вертикальное направление . Относительная скорость тел в любой момент времени одинакова.

Ответ: .

Пример 5. Два тела движутся в одной плоскости, их скорости изменяются по закону , . Найти скорость движения их ЦМ, импульс системы и скорости тел относительно их ЦМ. Отличаются ли относительные скорости тел в неподвижной СО и в системе их ЦМ?

Дано: , . Найти:

Решение: Система понятий, используемых в данной задаче, введена в разделах 7 и 12 (Центр масс и второй закон Ньютона для системы тел). Задачу будем решать в векторной форме. Скорость ЦМ системы двух точек

Импульс системы совпадает с импульсом ее ЦМ: .

Если скорость тела относительно ЦМ , а скорость ЦМ относительно земли , то скорость тела относительно земли , откуда . В частности,

,

,

Скорости тел относительно друг друга в неподвижной СО и системе ЦМ

,

то есть относительные скорости тел в обеих системах отсчета одинаковы.

Ответ: , , ,

, .

Силы в механике

Сила – это векторная мера взаимодействия тел (скалярной мерой взаимодействия является потенциальная энергия тела ).

Любая сила характеризуется ее величиной, направлением и точкой приложения. Осуществлять параллельный перенос начал векторов сил, действующих на тело, в одну точку в задачах на поступательное движение тела нежелательно, а в задачах на вращательное движение тела вообще нельзя, так как это приведет к неправильному решению задачи.

К механическим силам, действующим на тело, относятся:

1. Реакции связейN, T, R и т.д. Связь (опора) – это любое тело, ограничивающее движение другого тела (поверхность какого-либо тела, нить). Реакции связей не имеют конкретного способа вычисления и их находят из второго закона Ньютона.

2. Сила трения скольжения , где μ – коэффициент трения тела о поверхность связи, N – нормальная реакция связи. Силу трения покоя находят из условия равновесия тела на поверхности. Силу трения качения и скольжения тела находят из основных динамических принципов: второго закона Ньютона или основного закона динамики вращательного движения.

3. Гравитационная сила или сила тяжести согласно закону всемирного тяготения Ньютона

где γ – гравитационная постоянная, M и m – гравитационные массы взаимодействующих тел, r –расстояние между их центрами. Если M – масса планеты, то g – это ускорение свободного падения на расстоянииr от центра планеты. Для планеты радиуса R (для Земли ) ускорение свободного падения на высоте h от поверхности планеты равно

где – ускорение свободного падения на поверхности планеты. Для Земли Масса тела, входящая в закон всемирного тяготения, называется гравитационной, а входящая во второй закон Ньютона – инертной. Это разные массы. Равенство единиц измерения инертной и гравитационной масс достигается соответствующим опытным выбором гравитационной постоянной

Рис.33

На наклонную плоскость действует сила тяжести и сила давления тела на нее, и второй закон Ньютона для плоскости в неподвижной СО будет иметь вид .

Для решения задачи выберем две СО: неподвижную XOY, связанную с поверхностью, на которой находится наклонная плоскость, ось X которой направлена по ускорению наклонной плоскости, и движущуюся СО , связанную с движущейся наклонной плоскостью, ось которой направлена по ускорению соскальзывания тела с наклонной плоскости.

Спроецируем силы, действующие на тело, на ось движущейся СО. Получим

. Откуда реакция наклонной плоскости, действующая на тело, и сила давления тела на плоскость равны

.

Проецируя силы, действующие на наклонную плоскость, на ось X неподвижной СО, получим

.

Откуда ускорение наклонной плоскости .

Второй закон Ньютона для тела в проекциях на ось движущейся СО будет иметь вид

.

Откуда ускорение , с которым тело соскальзывает с наклонной плоскости, будет равно

.

При , как и должно быть, и . Ускорения плоскости и тела связаны соотношением .

Ответ: , , .

Пример 8. Найти в примере 7 смещение наклонной плоскости по горизонтали после того как тело опустится на высоту h. Чему будут равны скорости тела и наклонной плоскости в этот момент времени?

Дано: . Найти:

Решение: Путь, проходимый телом вдоль наклонной плоскости за время t, и смещение плоскости за это время описываются уравнениями и . Откуда с учетом примера 7 . Скорость тела , а наклонной плоскости ― .

Ответ: , , .

Пример 9. Решить задачу в примере 7 в предположении, что между телом и наклонной плоскостью действуют силы трения. Коэффициент трения между телом и плоскостью равен μ.

Дано: . Найти:

Решение: Согласно примеру 7 силы трения (рис.33), действующие между телом и плоскостью равны

Второй закон Ньютона для наклонной плоскости в направлении оси Xбудет иметь вид:

Откуда ускорение наклонной плоскости

Второй закон Ньютона для тела в проекциях на ось движущейся СОбудет иметь вид:

Откуда ускорение тела относительно наклонной плоскости

Ответ: , .

Столкновения тел

Различают следующие виды соударений тел: абсолютно неупругое, частично-упругое и абсолютно упругое. Если процесс столкновения быстрый , то имеет место закон сохранения импульса в системе сталкивающихся тел.

Абсолютно неупругое столкновение тел. При этом виде столкновения тела слипаются и после столкновения движутся вместе(рис.38).

 

Рис. 38

Любое столкновение тел описывается законом сохранения импульса и энергии. В данном случае, обозначив импульсы тел до и после столкновения , , и Q – выделившееся при ударе тепло, получим

.

Возведя первое равенство в квадрат, найдем квадрат импульса тел после столкновения, а из второго – выделившееся при ударе тепло

, ,

где – угол между векторами импульсов тел до их столкновения.

При прямом центральном ударе скорость тел после столкновения , а выделившееся при ударе тепло

,

где и – проекции скоростей тел и на направление их движения и имеют знак .

Частично упругое столкновение тел. Ограничимся случаем лобового столкновения тел. При этом виде удара тела не слипаются, но после столкновения у них имеется остаточная деформация (вмятины) и выделяется при ударе тепло . Законы сохранения импульса в проекциях на направление движения тел и энергии в этом случае будут иметь вид

,

где и – скорости тел до и после их столкновения.

Абсолютно упругое столкновение тел. При этом виде столкновения тела после столкновения восстанавливают свою форму и остаточная деформация у них отсутствует, поэтому выделившееся при ударе тепло

Рис.39

Система уравнений, описывающая удар (рис.39), будет иметь вид

, .

Эту систему уравнений можно свести к линейной. Для этого перенесем члены с