Краснодарского края«апшеронский лесхоз-техникум»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ«АПШЕРОНСКИЙ ЛЕСХОЗ-ТЕХНИКУМ»

 

В помощь студенту 1 курса

 

 

Методические указания к самостоятельной работе для студентов 1 курса по математике

 

(в форме практических работ по алгебре и началам анализа)

 

2017г.

 

 

В данном сборнике собраны задания по основным темам алгебры и начал анализа X-XI класса. Многовариантные проверочные, обучающие и тестовые работы сопровождаются кратким теоретическим напоминанием, таблицами, примерами оформления решений и ответами.

Преподавателю этот сборник заменит дидактические и раздаточные материалы. Учащиеся могут использовать его для самостоятельного изучения пропущенных тем и самоконтроля, а родители - для контроля знаний своих взрослых детей.

Успехов Вам всем!

 

Разработчик:

Яценко М.М., преподаватель математики

ГБПОУ КК «Апшеронский лесхоз-техникум»

 

С о д е р ж а н и е

 

 

I. Алгебра и начала анализа.

 

Тема стр.

 

1. Вычисление производной с помощью определения 4

2. Вычисление производных алгебраических функций 7

3. Вычисление производных сложных функций 10

4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции 12

5. Свойства функций 15

6. Исследование функции и построение ее графика 17

7. Производная (обобщение, тесты) 20

8. Вычисление первообразных функций 29

9. Вычисление определенного интеграла 32

10. Применение интеграла для вычисления площадей и объемов 35

11. Тригонометрические функции углов поворота 38

12. Преобразование тригонометрических выражений 42

13. Решение тригонометрических уравнений 46

14. Преобразование числовых и буквенных выражений 52

15. Преобразование выражений, содержащих радикалы 53

16. Решение иррациональных уравнений 55

17. Преобразование выражений, содержащих степени с

дробными (рациональными) показателям 56

18. Преобразование выражений, содержащих степени и логарифмы 58

19. Решение рациональных уравнений и неравенств 60

20. Решение показательных уравнений и неравенств 65

21. Решение логарифмических уравнений и неравенств 66

 

 

II. Ответы 69

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

«Вычисление производной с помощью определения»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производной функции по определению».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности учащихся.

ОБОРУДОВАНИЕ: микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Что такое приращение аргумента и приращение функции?

б) В чем состоит геометрический смысл приращений и ?

в) В чем состоит геометрический смысл отношения ?

г) Сформулируйте определение производной функции в точке.

2. С помощью обучающих таблиц повторить планы вычисления приращения функции, производной функции в точке по определению и изучить образцы решенных примеров.

3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).

ОБУЧАЮЩИЕ ТАБЛИЦЫ

 

Производная функции.

Определение. Производной функции в заданной точке x называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , когда стремится к нулю, т.е.

.

Задание. Вычислите производную функции в точке , если:

а) ; б) .

№	План вычисления производной	Применение	плана
шага	функции	а)	б)
	Фиксируем точку x и даем аргументу приращение
	Вычисляем приращение функции
	Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
	Вычисляем производную
	Вычисляем

Пример2. Вычислите производные следующих функций:

1) в точке ; 2) в точке ; 3) в точке ; 4) в точке ; 5) в точке ; 6) в точке ;

7) в точке ; 8) в точке .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .

2. Найдите приращения и в точке , если .

3. Найдите производную функции f в точке по определению, если при = 1.

4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 2.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .

2. Найдите приращения и в точке , если .

3. Найдите производную функции f в точке по определению, если

при = 1.

4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 3.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .

2. Найдите приращения и в точке , если .

3. Найдите производную функции f в точке по определению, если при = 1.

4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 4.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .

2. Найдите приращения и в точке , если .

3. Найдите производную функции f в точке по определению, если при = 1.

4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

 

«Вычисление производных алгебраических функций»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производных алгебраических функций».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: таблица производных элементарных функций; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Сформулируйте определение функции.

б) Сформулируйте правила вычисления производных алгебраических функций.

в) В чем состоит механический смысл производной?

г) Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

2. По образцу выполнить тренировочные задания.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение , если .

Вариант 2.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите неравенство , если .

Вариант 3.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение , если .

Вариант 4.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение , если .

Вариант 5.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение , если .

Вариант 6.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

Вариант 7.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Найдите х, при котором , если .

Вариант 8.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. По прямой движутся две материальные точки по законам и . В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3

 

«Вычисление производных сложных функций»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производных сложных функций».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: таблица производных элементарных функций; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложных функций.

б) Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции.

2. По образцу выполнить тренировочные задания.

 

 

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

Вычислите производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Вариант 2.

Вычислите производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

Вариант 3.

Вычислите производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

Вариант 4.

Вычислите производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

Вариант 5.

Вычислите производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Вариант 6.

Вычислите производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Вариант7.

Вычислите производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ;

Вариант 8.

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4

 

«Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Решение прикладных экстремальных задач».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности учащихся.

ОБОРУДОВАНИЕ: таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Какую точку называют критической точкой функции?

б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.

в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

г) Опишите схему исследования функции.

2. С помощью обучающих таблиц повторить планы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, решения прикладных экстремальных задач и изучить образцы решенных примеров.

3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).

ОБУЧАЮЩИЕ ТАБЛИЦЫ

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Из квадратного листа жести со стороной 12 м надо изготовить бак с квадратным основанием без крышки наибольшего объема. Найдите размеры бака и его объем.

Вариант 2.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Какой из прямоугольников с периметром 2p имеет наибольшую площадь?

Вариант 3.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа. Чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

Вариант 4.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м. И площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

Вариант 5.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Из куска картона 32 см 20 см требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и затем, загибая выступы для образования боковых сторон коробки. Найдите объем коробки.

Вариант 6.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см . Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

Вариант 7.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк)

160 см . Ширина полей на странице слева и справа должна быть равна 2 см, а сверху и снизу – 5 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Вариант 8.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

2. Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону , где t – время в секундах, s – путь в метрах. В какой момент времени t скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой наибольшей скорости?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5

«Свойства функций»

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Свойства функций».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Что называется функцией?

б) Что такое естественная область определения функции?

в) Какая функция называется четной, нечетной?

г) Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

 

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 2.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 3.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 4.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 5.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 6.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 7.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

Вариант 8.

1. Найдите , если .

2. Найдите область определения функции .

3. Установите, является ли функция четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.

4. Найдите точки пересечения графика функции с осью ОУ и нули функции.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6

 

«Исследование функции и построение ее графика»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Исследование функции и построение ее графика».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

 

ОБОРУДОВАНИЕ: таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Какую точку называют критической (стационарной) точкой функции?

б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.

в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

г) Опишите схему исследования функции.

2. С помощью обучающей таблицы повторить план исследования функции и изучить образцы решенных примеров.

3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).

 

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Задание. Исследуйте и постройте графики функции:

а) ;б) .

 

№	План исследования	Применение	плана
шага	Функции	а)	б)
	Находим область определения функции		, ,
	Исследуем функцию на четность, нечетность	функция ни четная, ни нечетная	функция четная
3	Находим нули (корни) функции и промежутки её знакопостоянства	, , , - нуль функции	, - нуль функции
	Находим производную функции и её критические точки	, - критические точки функции	- критическая точка функции
5	Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции	х =0 – не является точкой экстремума, х =1 – точка минимума,	, х =0 – точка максимума,
	Находим предел функции при
7	Строим эскиз графика функции

Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 2.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 3.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 4.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 5.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 6.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 7.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

Вариант 8.

1. Исследуйте функцию на максимум и минимум.

2. Исследуйте с помощью производной функцию и постройте ее график.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8

 

«Вычисление первообразных функций»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление первообразной функции».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Что называется первообразной функции?

б) Сформулируйте основное свойство первообразной.

в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

2. Изучить образцы решенных примеров.

3. Выполнить задания для самоконтроля.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

 

«Вычисление определенного интеграла»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление определенного интеграла».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Что называется первообразной функции?

б) Сформулируйте основное свойство первообразной.

в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

г) Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

2. Изучить образцы решенных примеров.

3. Выполнить задания для самоконтроля.

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №10

 

«Применение интеграла для вычисления площадей и объемов»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Применение определенного интеграла для вычисления площадей и объемов».

2. Закрепить и систематизировать знания по теме.

3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат д