Понятие пространства состояний

К многомерным системам относятся такие системы, у которых имеется

несколько управляемых и управляющих величин. Например, системы автоматического регулирования частоты вращения двигателей переменного тока, системы регулирования напряжения и частоты синхронного генератора, системы управления промышленными роботами, системы управления подвижными объектами.

При исследовании многомерных систем пользуются методами пространства

состояний. В отличие от подхода основанного на использовании структурных схем и передаточных функций использование метода пространства состояний основано на возможности описания поведения системы некоторым количеством дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных состояния с начальными условиями. Понятие состояния, лежащее в основе современного подхода к описанию поведения динамических систем, было впервые введено Тьюрингом в 1936 г. Позднее это понятие было использовано Шенноном в его работах по теории информации.

Многомерная система предполагает наличие многомерного объекта управления, который характеризуется входными и выходными переменными, к которым относятся:

1) входные переменные, представляющие сигналы, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой, и влияющие на ее поведение. Входные переменные разделяются на управляющие переменные, задаваемые вектором U:

u=(u1, u2,...uk)T, (1.1)

и возмущающие воздействия, задаваемые вектором f:

f =(f1, f 2,... fl)T, (1.2)

2) выходные или регулируемые переменные, задаваемые вектором регулируемых величин y:

y=(y1, y2,...ym)T, (1.3)

3) переменные (обобщенные координаты) состояния или промежуточные

переменные, задаваемые вектором обобщенных координат x

x = (x1, x2,...xn)T (1.4)

Переменные многомерного объекта являются векторными величинами, зависящими от времени, а сам объект может быть структурой рис. 1.1.

Рис.1.1

Согласно понятию векторного пространства множество всех значений, которые может принять вектор управления Uв момент времени t, образует пространство управляющих величин. Аналогично, множество всех значений, которое могут принимать векторы возмущений f, регулируемых величин y и обобщенных координат x в момент времени t, образуют пространство возмущающих воздействий, пространство регулируемых величин и пространство состояний системы.

В любой момент времени t состояние системы является функцией начального состояния x (t0) и вектора входных величин.

Вектор регулируемых величин в момент t является также функцией начального состояния x0 (t0) и вектора входных величин U(t0,t) и f(t0,t) и может быть записан как

y (t) =Ψx(t 0); u(t0,t); f(t) (1.5)

Уравнение (1.5) называют уравнением состояния системы. Для систем, описываемых дифференциальными уравнениями, уравнения могут быть записаны в следующем виде:

(1.6)

Для линейных систем уравнения состояния сводятся к следующим:

(1.7)

Уравнение (1.6) и (1.7) устанавливает взаимосвязь между входными (управляющими и возмущающими) и выходными (фазовыми) координатами объекта, определяемую видом функций F[x(t);u(t);f(t)] и Ψ[x(t);u(t);f(t)], а также

позволяет описать процесс движения системы в пространстве состояний, как результат решения векторного дифференциального уравнения (1.6) или (1.7).