Поверхности второго порядка в пространстве

Общее уравнение поверхностей второго порядка имеет вид уравнения второй степени:

Ах² + Ву² + Сz² + 2Dxy + 2Eyz + 2Fzx + 2Gx + 2Hy +2Kz + L = 0. (5)

Причем коэффициенты A, B, C, D, E, F не могут быть равны нулю одновременно.

Частными случаями уравнения (5) являются основные поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоид и параболоид.

 

Гиперболоид

 

Существует два вида гиперболоидов: однополостные и двухполостные.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением

. (6)

Однополостным гиперболоид имеет вид бесконечной трубки, расширяющейся в обе стороны от горловины.

Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая уравнением

. (7)

Двухполостньй гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из двух отдельных полостей, каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши.

Уравнения (6) и (7) называются каноническими уравнениями гиперболоидов.

Для построения гиперболоида в Ехсеl канонические уравнения (6) или (7) необходимо разрешить относительно переменной z (представить в виде ).

Пример 2. Построить верхнюю часть двухполостного гиперболоида , лежащую в диапазонах: х Î[-5; 5], y Î[-3; 3] с шагом h=0.5 для обеих переменных.

Решение

Этап 1. Математическая часть. Из уравнения необходимо выразить переменную z: , т.к. в задании необходимо построить только верхнюю часть гиперболоида, то мы оставляем только положительный корень: .

Этап 2. Ввод данных.

Введем значения переменной x в столбец A. Для этого в ячейку A2 вводим первое значение аргумента – левая граница диапазона (-5). В ячейку A3 — второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг (-4,5). Выделяем блок ячеек A2:A3, автозаполнением получаем все значения аргумента.

Значения переменной у вводим в строку 1. Для этого в ячейку В1 вводится первое значение переменной — левая граница диапазона (-3). В ячейку С1 — второе значение переменной — левая граница диапазона плюс шаг построения (-2,5). Затем, выделив блок ячеек В1:С1, автозаполнением получаем все значения аргумента.

Далее вводим значения переменной z. Для этого табличный курсор необходимо поместить в ячейку В2 и на панели инструментов Стандартная нажать кнопку Вставка функции (f_x). В появившемся диалоговом окне Мастер функций (шаг 1 из 2) в поле Категория → Математические. В поле Функция выбираем функцию Корень. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Корень. В рабочее поле вводим подкоренное выражение: 1 + $А2^2/16 + B$1^2/9. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 1.8875. Теперь необходимо установить курсор на ячейке B2, курсором мышки нажать в поле Редактор формул и умножить формулу на 5. Нажать Enter. Курсор останется на ячейке В2: в поле ввода появится формула =5*Корень(1 + $А2^2/16 + B$1^2/9); в ячейке В2 – значение 9,4373. Автозаполнением копируем эту формулу вниз в диапазон В2:В22. Затем автозаполнением протягиванием вправо копируем эту формулу вначале в диапазон В2:N22 (рис.6).

Рис.6