Числовые характеристики двумерной случайной величины: моменты, ковариация, коэффициент корреляции. Свойства (теоремы) для математического ожидания и дисперсии.

Числовые характеристики двумерной случайной величины

Начальным моментом порядка k+s случайной величины (ξ,η) называется

Согласно определению математического ожидания

Центральным моментом порядка k+s случайной величины (ξ,η) называется

Например,

n₁₀=M[ξ¹×η⁰]= m _ξ, n₀₁=M[ξ⁰ ×η¹]= m _η,

m₁₀=M[ξ – m _ξ]=0, m₀₁=M[η – m _η]=0,

m₂₀=M[(ξ – m _ξ)²]= D _ξ, m₀₂=M[(η – m _η)²]= D _η,

m₁₁=M[(ξ – m _ξ)(η – m _η)]= k _ξη называется моментом корреляции (иначе моментом связи) или ковариацией случайных величин ξ и η.

Для ковариации справедлива формула:

k _ξη =M[(ξ – m _ξ)(η – m _η)]=M[ξη] – m _ξ m _η.

Коэффициентом корреляции назовем

Случайные величины ξ и η, для которых k _ξη = 0 (а значит и r _ξη =0), называются некоррелированными (несвязанными).

Если k _ξη ¹ 0 (а значит и r _ξη ¹0), то ξ и η называются коррелированными (это есть признак наличия зависимости между ними).

Можно доказать, что если ξ и η независимые случайные величины, то k _ξη =0 (а значит и r _ξη =0),

т.е. ξ и η некоррелированные величины

Заметим, что из некоррелированности случайных величин, в общем случае, еще не следует их независимость. Можно построить примеры таких случайных величин, которые являются некоррелированными, но зависимыми.

Итак:

· из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность.

· Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

· Числа k _ξη и r _ξη характеризуют не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость между случайными величинами ξ и η. Некоррелированность эквивалентна линейной независимости.

Найдем линейную зависимость у=kx+b, которая давала бы возможность предсказывать как можно точнее значения случайной величины η по значениям случайной величины ξ, т.е. такую линейную зависимость, чтобы ошибка предсказания M[(η-y)²], была минимальной.

В этом случае

Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид

и называется прямой среднеквадратической регрессии ηнаξ

- коэффициент регрессии ηнаξ.

При этом ошибка замены равна:

Аналогично можно получить прямую среднеквадратической регрессии ξ на η:

- коэффициент регрессии ξнаη.

1. Основные теоремы о математических ожиданиях и дисперсиях

Теорема. M[ξη]= m _ξ m _η + k _ξη

Следствие. Если ξ и η независимые случайные величины, то M[ξη]= m _ξ m _η

Теорема. D[ξ+η]=D[ξ]+D[η] + 2 k _ξη

Следствие. Если ξ и η - независимые случайные величины, то D[ξ+η]=D[ξ]+D[η].

 

Вывод уравнения среднеквадратической регрессии.

Числа k _ξη и r _ξη характеризуют не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость между случайными величинами ξ и η. Некоррелированность эквивалентна линейной независимости.

Найдем линейную зависимость у=kx+b, которая давала бы возможность предсказывать как можно точнее значения случайной величины η по значениям случайной величины ξ, т.е. такую линейную зависимость, чтобы ошибка предсказания M[(η-y)²], была минимальной.

В этом случае