Перестановки, размещения, сочетания. Вывод формул

Элементы комбинаторики

Имеется совокупность n объектов, назовем ее генеральной совокупностью. Из генеральной совокупности наудачу отбираем m объектов, эту отобранную совокупность назовем выборкой.

Выборка может быть упорядоченной, если порядок объектов (элементов) играет роль, и может быть неупорядоченной, если порядок элементов роли не играет.

Выборка может быть без повторений, если элементы повторяться не могут, и может быть с повторениями, если элементы в выборке повторяются.

Например, телефонный номер 60-61-51 – упорядоченная выборка с повторениями из десяти цифр по шести.

Упорядоченная выборка из n элементов по m называется размещением, неупорядоченная выборка из n элементов по m называется сочетанием. Число размещений и сочетаний c повторениями и без повторений из n элементов по m можно найти:

Два счета из десяти выполнены с ошибками. Найти вероятность того, что из четырех взятых на проверку счетов один счет окажется с ошибками

Решение:

Имеем дело с неупорядоченными выборками без повторений, следовательно, всего случаев n=С₁₀⁴,

благоприятных из них m=С₂¹×С₈³.

Следовательно =

 

Урновые схемы, вывод формул.

Имеется урна, в которой содержится N шаров

M белых шаров,

N-M черных шаров

Выборка без возвращения

состоит в том, что мы наугад вынимаем последовательно из урны n шаров, не возвращая их обратно.

Какова вероятность вытащить ровно m белых шаров?

Элементарные события – последовательности различных шаров.

Всего элементарных событий

Из них успешных

Выборка с возвращением

состоит в том, что мы наугад вынимаем последовательно из урны n шаров, каждый раз фиксируя выбранный шар и возвращаю его в урну.

Какова вероятность вытащить ровно m белых шаров?

Выборка с возвращением

Элементарные события – последовательности шаров.

Всего элементарных событий

Из них успешных

 

Теорема сложения вероятностей, доказательство для суммы двух и трёх событий.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Теорема сложения вероятностей

(формула включения-исключения).

Р(А₁+А₂+А₃+...+А_n)=

Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) +... + Р(А_n)

- Р(А₁×А₂) - Р(А₁×А₃) - Р(A₂×A₃) -... - P(A_n-1×A_n) + P(A₁×A₂×A₃) + P(A₁×A₂×A₄) +…+ P(A_n-2×A_n-1×A_n) -...

- …+(-1)^n-1 P(A₁×A₂×...×A_n).

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Доказательство (для n=3).

Р(А+В+С) = Р((А+В)+С) = / по аксиоме 4 / = Р(А+В)+Р(С)-Р((А+В)×С) = Р(А+В) + Р(С) - Р(А×С+В×С) = Р(А+В) + Р(С) - (Р(А×С) + Р(В×С) - Р(А×В×С)) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(А×В) - Р(А×С)- Р(В×С) + Р(А×В×С).g

Следствие.

Если события А_1, А₂,...,А_nнесовместны,

то

Р(А₁+А₂+...+А_n)=P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n).