Деление отрезка в данном отношении

 

Пусть отрезок задан точками A(x₁,y₁,z₁) B(x₂,y₂,z₂) и пусть l ¹ -1 – любое число.

Определение. Говорят, что точка С на отрезке АВ делит этот отрезок в отношении l если = l

l = 1 пополам

l=2 отношение 2:1(3 части)

l=1/2 в отно 1:2 (3 части)

 

Требуется наути координаты точки С.

Найти С(x,y,z)

AC = lCB ó

AC(x-x₁, y-y₁,z-z₁)

CB(x₂-x, y₂-y, z₂-z)

ó (x-x₁, y-y₁,z-z₁) = l(x₂-x, y₂-y, z₂-z) ó

x-x₁ = l(x₂-x)

y-y₁ = l(y₂-y) ó x =

 

z-z₁ = l(z₂-z)

 

C(, , )

 

 

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ВЕКТОРУ.

Пусть М₀(x₀, y₀, z₀) – точка n(a,b,c) –вектор

Требуется написать ур-е плоскости a, которая проходит через точку М₀ и ^n

Решение.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка пространства. Построим вектор M₀M(x-x₀,y-y₀,z-z_o) MÎa ó M₀M ^n ó M₀M n = 0 ó (a,b,c)(x-x₀,y-y₀,z-z_o) = 0 ó

a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0 - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (общее ур-е плоскости, проходящей через заданную точку) если раскрыть скобки, то получим следующее Ax+By+Cz-Ax₀-By₀-Cz₀ = 0

Ax+By+Cz+D = 0 - общее ур-е плоскости в пространстве, где A,B,C – координаты вектора n.

 

 

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ПАРАЛЛЕЛЬНО 2-М ВЕКТОРАМ.

Пусть M₀(x₀,y₀,z₀) (a₁,a₂,a₃) (b₁,b₂,b₃) ||

Написать ур-е плоскости a, a||a a||b M₀Îa

Пусть М(x,y,z) – произвольная точка

Вектор M₀M(x-x₀,y-y₀,z-z_o)

MÎa ó M₀M, , компланарны ó M₀M = 0 ó

= 0

Для того, чтобы привести его к общему виду, достаточно разложить его по первой строке.

 

() - () + () = 0

 

 

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ 3 ТОЧКИ.

Пусть даны три точки:

M₀(x₀,y₀,z₀)

M₁(x₁,y₁,z₁)

M₂(x₂,y₂,z₂)

Написать ур-е плоскости a (M₀Îa, M₁Îa, M₂Îa)

M(x,y,z) – произвольная точка

M₀M₁(x₁-x₀,y₁-y₀,z₁-z_o) и M₀M₂(x₂-x₀,y₂-y₀,z₂-z_o) M₀M(x-x₀,y-y₀,z-z_o)

 

= 0

 

 

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.

 

Дано: a: Ax + By + Cz + D = 0

M₁(x₁,y₁,z₁₎

Найти: d(M₁,a) – расстояние от точки до плоскости.

 

Рассмотрим M₀M = |n||M₀M|cos(0,p) = |n|d±1

ð d =

M₀M₁ = (A,B,C) (x₁-x₀,y₁-y₀,z₁-z_o) = A(x₁-x₀) + B(y₁ – y₀) + C(z₁ – z₀) = Ax₁ + By₁ + Cz₁ – Ax₀ –By₀ –Cz₀

Т.к. М₀Îa =>

=> Ax₀ –By₀ –Cz₀ = D

=> M₀M₁ = Ax₁ + By₁ + Cz₁ +D

A²+B²+C²

 

d =

для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно координаты точки подставить в ур-е плоскости, взять модуль полученного числа и разделить на длину нормального вектора.

 

Под углом между двумя плоскостями понимают двугранный угол, образованный этими плоскостями.

 

N₁, N₂ -нормальные векторы плоскости.

P:A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

P^Q{A₁,B₁,C₁}

Q^ N ₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть P^Q<=> N₁ ^ N ₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности P^Q.

2) Пусть P^Q<=> N₁ ^ N ₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей.

 

ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ И КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

M₀(x₀,y₀,z₀) Î l

(m,n,p) – напрявляющий вектор прямой. S||l

M(x,y,z) Î l

 

M₀M(x-x₀,y-y₀,z-z_o)

||M₀M =>

M₀M = t, tÎR – параметр

ìx – x₀ = mt x = x₀ + mt

íy – y₀ = nt y = y₀ + nt (1) – пар ур-е прям

î z – z₀ = pt z = z₀ + pt

 

 

Каноническое ур-е. Из (1) выражаем t.

t =

t =

t =

 

= = (2) - каноническое ур-е прямой

 

Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки.

l m n

S {x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁}