Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.

Выберем в пространстве произвольную точку О, которую будем называть началом координат. Помести базисные вектора {i,j,k} своими началами в точку О. Через начало координат и базисные векторы проводим прямые, которые называются осями координат, причем прямая, проходящая через вектор i – ось ох (ось абсцисс), через j – оу (ось ординат), через k - ось oz (ось аппликат). Конец каждого базисного вектора отмечает на оси число 1.

Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор . Соединяющий начало координат с точкой М – радиус-вектор точки М. Вектор единственным образом разлагается по базису, т.е. существуют такие числа x,y,z что вектор = x + y + z . Координатами точки М в прямоугольной системе координат Оxyz называются координаты вектора ОМ в базисе {i,j,k}.

Для того, чтобы найчти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

Направляющие косинусы вектора.

Пусть точка М(x,y,z); =

Пусть вектор а составляет с осями координат углы a, b, g. Косинусы этих углов – направляющие косинусы вектора а.

Пусть вектор а (a_x,a_y,a_z)

a_x = Пр_i = | |cosa

a_y = Пр_j = | |cosb

a_z = Пр_k = | |cosg

 

ð cosa = cosb= cosg=

т.к. =

то cosa =

cosb =

cosg =

направляющие векторы обладают след св-вами:

1. cos²a+cos²b+cos²g=1

2. пусть (a_x,a_y,a_z) – произвольный вектор. Требуется найти ₀ , который обладает след св-вами.

₀­­ | ₀ |=1

₀ = ₀ = = ₀ (, , ) => ₀ (cosa, cosb, cosg)

 

 

 

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением 2х ненулевых векторов a, b называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними. Обозначается или (, )

= |a||b|cosj

= 0

Из определения скалярного произведения = |a|Пр_a = |b|Пр_b

Свойства:

1. Ab = ba

2. (la)b = a(lb) = lab

3. a(b+c) = ab + ac

a(b+c) = |a|Пр_a +c) = |a|(Пр_a + |a|Пр_a ) = ab + ac

4. aa = |a||a|cos0 = |a|²

5. ab = 0 ó a^b

вычисление скалярного произведения.

= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Применение скалярного пооизведения

1. вычисление углов cosj = / | || |

2. опрееление перпендикулярности 2х векторов ^ =0 или нет

= |a|Пр_a = |b|Пр_b => Пр_b = / |b|

3. в механике A = - работа силы

4. W =

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Векторным произведением вектора а на вектор b называется третий вектор с.

c = [a, b] = a x b, удовлетворяющий условиям:

1. |c| = |a||b|sinj j - угол между a и b

2. c^a, c^b

3. {a, b, c} – правая тройка

Из определения модуля ясно, что |[a, b]| = |a||b|sinj = Sпараллелограмма

Свойства:

1. [a, a] = 0

2. [a, b] = - [b, a]

3. [a, b + c] = [a, b] + [a, c]

4. [aa, b] = [a, ab] = a[a, b]

5. [a, b] = ó a||b

[a,b] = (, - , )

Применение векторного произведения

1. Вычисление площадей параллелограммов и треугольников. Sпаралл = |[a,b]|; Sтреуг = |[a,b]|/2

2. В физике

 

 

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. КОМПЛАНАРНОСТЬ ТРЕХ ВЕКТОРОВ.

Смешанным произведением 3х векторов a,b,c называется число [a,b]c, полученное скалярным умножением векторного произведения [a,b] на третий вектор с. обозначается abc = (a,b,c) = [a,b]c

Пусть {a,b,c} – правая тройка.

Тогда abc = [a,b]c = |[a,b]||c|cosq q - угол между [a,b] и c

abc = Sпараллелограмма|c|cosq = Sпараллелограмма H = V паралелипипеда, построенного на этиъ векторах.

Если {a,b,c} – левая тройка, то abc = -V

Свойства:

1. a[b,c] = [a,b]c

2. abc = cab = bca = -bac = -cab = -acb

3. (a₁ + a₂)bc = a₁bc + a₂bc

4. (aa)bc = a(ab)c = ab(ac) = aabc

Вычисление смешанного произведения

Пусть a(a_x, a_y, a_z) b(b_x, b_y, b_z) c(c_x, c_y, c_z) abc -?

abc = [a,b]c = (, - , )(c_x, c_y, c_z) = c_x - c_y + c_z =

=

Т.е. abc = [a,b]c =

Формулировка: для того, чтобы 3 вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Необходимость: дано: 3 вектора компланарны, доказать: abc = 0

Если a,b,c компланарны, то [a,b]^c => abc = [a,b]c = 0

Достаточность. Дано: abc = 0, доказать: a,b,c – компланарны.

0 = abc = [a,b]c = |[a,b]||c|cosq = |a||b|sinj|c|socq = 0

1. |a| или |b| или |c| равны 0 => среди векторов есть нулевой вектор => a,b,c компланарны

2. sinj = 0 => a||b => a,b,c компланарны

3. cosq=0 => c^[a,b] = p/2 => с принадлежит плоскости ab

применение смешанного произведения

1. вычисление объемов параллелипипедов (V = |abc|), трегольных призм (V = |abc|/2), пирамид (V = |abc|/6)

2. определение компланарности трех векторов