Переход от общих уравнений прямой к каноническим

 

Переход от канонических (параметрических) уравнений прямой к общим не вызывает затруднений. Действительно, если канонические уравнения прямой имеют вид

,

то ее параметрические уравнения:

, ,

а общие уравнения:

Переход от общих уравнений прямой к каноническим (параметрическим) требует несколько больших усилий.

Пусть прямая задана общими уравнениями:

(5)

Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки на прямой. Координаты точки найти легко – это одно из решений системы уравнений (5). Выясним, как можно найти направляющий вектор .

Пусть и – плоскости, уравнения которых входят в общие уравнения прямой, и – нормальные векторы к плоскостям и соответственно.

Так как прямая лежит в плоскости , то векторы и перпендикулярны.

Так как прямая лежит в плоскости , то векторы и тоже перпендикулярны.

Следовательно, в качестве можем взять векторное произведение векторов и (см. определение векторного произведения в §9).

ПРИМЕР. Записать канонические уравнения прямой

(6)

1) Найдем одно из решений системы (6). Так как , то этот минор можно выбрать в качестве базисного минора матрицы системы (6). Следовательно, переменные и можем выбрать в качестве базисных, а переменную – свободной. Так как нам не нужно все множество решений системы (6), то придадим переменной конкретное значение. Например, полагаем . Тогда переменные и будут удовлетворять системе

Решаем эту систему по формулам Крамера и получаем:

, , ;

, .

Таким образом, – одно из решений системы (6), и точка – точка на рассматриваемой прямой.

2) Найдем направляющий вектор прямой. Имеем:

, ;

.

Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой можем взять вектор , и канонические уравнения рассматриваемой прямой будут иметь вид:

.

 

Взаимное расположение прямой и плоскости.

 

Пусть плоскость (Р) задана уравнением

а прямая L - своими каноническими уравнениями

Требуется найти угол между прямой (31) и плоскостью (30). Углом между прямой и плоскостью назовем угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 5).

Тогда угол φ между прямой и плоскостью не превышает π/2. Пусть - нормальный вектор плоскости,
а - направляющий вектор прямой.

Т.к. , то

Поставим задачу определить координаты точки пересечения прямой (32) и плоскости (30). Поскольку точка пересечения одновременно принадлежит и прямой и плоскости, то ее координаты (х, у, z) удовлетворяют системе уравнений

Запишем параметрические уравнения прямой

Координаты точки пересечения (х, у, z), найденные из уравнений прямой, должны удовлетворять уравнению плоскости, т.е.

Отсюда находим значение параметра t для точки пересечения

и затем с помощью параметрических уравнений прямой вычисляем координаты точки пересечения (х, у, z).

Возможны случаи: