Уравнения прямой линии на плоскости.

 

Прямую линию можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум непараллельным плоскостям. Пусть уравнения плоскостей P1 и P2 заданы, тогда

определяет прямую линию, и систему (11) называют общим уравнением прямой линии.

Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R3. Очевидно, прямая линия будет полностью определена, если на ней фиксировать точку M0(x0, y0, z0) и вектор ,параллельный этой прямой (рис. 2). Точку M0 иногда называют начальной точкой, а вектор - направляющим вектором прямой. Получим наиболее употребительные формы уравнения прямой в пространстве.

Пусть - радиус-вектор начальной точки M0,
- радиус-вектор текущей точки М прямой. Тогда вектор коллинеарен направляющему вектору прямой , следовательно,

где t - некоторое число, называемое параметром. Уравнение (12) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Если то можно перейти от уравнения (12) к параметрическим уравнениям прямой в координатном виде:

Изменяя значения t, можно получить координаты любой точки, лежащей на прямой. Из уравнений (13) получим:

Отсюда

Уравнения (14) называются каноническими уравнениями прямой.

Пример 1. Уравнение прямой задано в общем виде

Необходимо записать уравнение прямой в каноническом виде.

Решение. Для записи уравнений (14) нам нужно знать координаты какой-либо точки M0на прямой и координаты какого-либо направляющего вектора прямой. Находим координаты точки M0(x0, y0, z0). Для этого одну из координат задаем произвольно (так, чтобы оставшаяся система двух уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение), скажем, z0 = 0. После этого решаем систему относительно x0 и y0

Для определения вектора нам нужны координаты еще одной точки M1 на прямой (рис. 3), тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор

Для вычисления координат M1 берем, например z1 = 1, а x1и y1 находим из решения системы

Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид

Один из направляющих векторов можно было найти и как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, то есть

Пример 2. Заданы канонические уравнения прямой Необходимо перейти к общим уравнениям.

Решение. Записываем данные уравнения в виде системы.

Последняя система и дает ответ.

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным прямым. Следовательно, угол между двумя прямыми - это угол φ между их направляющими векторами, т.е.

Условие перпендикулярности двух прямых - это условие перпендикулярности их направляющих векторов:

а условие параллельности двух прямых - это условие параллельности (коллинеарности) их направляющих векторов:

Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R2.

Выделим особо тот частный случай, когда одна из плоскостей в системе (11) есть плоскость Оху, и, следовательно, рассматриваемая прямая лежит в координатной плоскости Оху. В этом случае система (11) может быть записана в виде:

Рассмотрим вектор . Он расположен в плоскости Оху, перпендикулярен к плоскости Ax + By + D = 0 и, следовательно, перпендикулярен к прямой, определяемой системой (18).

Поскольку далее будем рассматривать только точки плоскости Оху, то третьи координаты точек и векторов не будем записывать, всегда подразумевая, что они равняются нулю. Как уже отметили, уравнению Ax + By + D = 0 в плоскости z = 0 соответствует прямая. Поэтому в аналитической геометрии на плоскости уравнение

называют общим уравнением прямой.

Пусть B ≠ 0, тогда общее уравнение прямой (19) можно записать в виде:

где

Выясним геометрический смысл коэффициентов k и b. Рассмотрим вектор , очевидно, что он направлен вдоль прямой (19), т.к.

поэтому вектор называют направляющим вектором прямой (19).

Найдем точку M0 пересечения прямой (20) с осью ординат. Т.к. абсцисса точки M0 равна нулю, то ее ордината равна b, т.е. M0(0,b). Обозначим через φ угол между вектором и осью Ох (рис. 4).

Тогда

поэтому

Таким образом, k есть тангенс угла между заданной прямой и осью абсцисс, а свободный член b есть ордината точки пересечения прямой с осью ординат.

Число k называют угловым коэффициентом прямой, а b - начальной ординатой.

Уравнение (20) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Очевидно, что уравнением прямой вида (20) можно описать любые прямые, кроме прямых, параллельных оси ординат, которые описываются уравнением x = а, где а = const.

Приведем еще два вида уравнений прямой на плоскости.

Пусть даны две точки M0(x0, y0) и M1(x1, y1). Требуется написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Для случая плоскости канонические уравнения (14) примут вид:

Вектор может быть взят в качестве направляющего вектора прямой. И, следовательно, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M0 и M1, примет вид

С помощью (21) запишем параметрические уравнения прямой

Пусть прямая не перпендикулярна оси Ох, т.е. m ≠0, тогда, исключив параметр t из уравнений (23), получаем

где

Уравнение (24) называют уравнением прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) и имеющей угловой коэффициент k.

Для вычисления угла между прямыми можно пользоваться методами вычисления угла между двумя векторами. Пусть заданы две прямые своими общими уравнениями

Их направляющими векторами являются векторы

Тогда косинус одного из углов между прямыми вычислим по формуле

Условие параллельности двух прямых есть условие параллельности их направляющих векторов, т.е.

Условие перпендикулярности двух прямых есть условие перпендикулярности их направляющих векторов, т.е.

Если две прямые заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами

то поскольку A1 = k1, B1 = -1 и A2 = k2, B2 = -1, то условие перпендикулярности принимает вид:

а условие параллельности прямых