Уравнения, приводящиеся к однородным.

Рассмотрим уравнения вида

— постоянные

Если , то уравнение является однородным. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая.

1)

Вводя новые переменные и по формулам , приведем уравнение к виду

Выбирая h и k как решение системы линейных уравнений

получаем однородное уравнение найдя его общий интеграл и заменив , получаем общий интеграл уравнения

и уравнение имеет вид

Подстановка приводит его к уравнению с разделяющими переменными.

 

Пример 4.2. Решить уравнение

Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. В том случае метод, применённый в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , . Уравнение примет вид

Разделяя, переменные получаем

,

Линейные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1-ого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной

. (1)

Решение линейного уравнения ищем в виде

Подставляя в (1), после преобразования получаем

Выберем v такой чтобы найдём , и следовательно и решение

Пример 5.1. Решить задачу Коши

,

Решение. Это линейное уравнение. Ищем общее решение в виде , имеем . Подставляя выражения для и в данное уравнение, будем иметь

, , ,

Для определения u имеем уравнение

,

, ,

Найдём C: , ;

Итак, решением поставленной задачи Коши будет

.

6. Уравнение Бернулли имеет вид , где

с помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 6.1. Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на

Положим , тогда , подставим в уравнение

,

, , ,

, ,

Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции т.е.

Для того чтобы (1) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области D изменения переменных x и y выполнялось условие

Общий интеграл уравнения (1) имеет вид

Пример 7.1. Решить уравнение

Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах

, , так что

То данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и , , поэтому , проинтегрируем

где пока неопределённая функция.

Частная производная найденной функции должна равняться

,

,

Общий интеграл имеет вид

Интегрирующий множитель

В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал .

Такая функция называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя или

(2)

Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.

1. Если , то и уравнение (2) примет вид

(3)

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.

 

Пример 8.1. Решить уравнения

Решение. , , имеем , следовательно , ,

Уравнение в полных дифференциалах

Его можно представить в виде , откуда и общий интеграл данного уравнения

2. Аналогично, если есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от y.

 

Интеграл уравнения (1)

Пример 8.1. Решить уравнение

Решение. Положим , тогда

т.к. , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

,

, ,

Замечание. Аналогично можно проинтегрировать уравнение

2. Уравнение вида

(2)

не содержит явным образом независимой переменной x.

Для его решения снова положим

(3)

но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда

Подставляя выражение и в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка

Интегрируя его, найдём p, как функцию y и производной постоянной :

Подставляя это значение в соотношение (3), получим

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения

Пример 8.2. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Пусть , тогда

Возвратимся к переменной y: