Логика однофакторного дисперсионного анализа

 

Задачей дисперсионного анализа является изучение влияния одного или нескольких факторов на рассматриваемый признак.

Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.

Для этих выборок предполагают, что они имеют разные выборочные средние и одинаковые выборочные дисперсии. Поэтому необходимо ответить на вопрос, оказал ли этот фактор существенное влияние на разброс выборочных средних или разброс является следствием случайностей, вызванных небольшими объемами выборок. Другими словами если выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности, то разброс данных между выборками (между группами) должен быть не больше, чем разброс данных внутри этих выборок (внутри групп).

Пусть x_ik – i – элемент k -выборки. Тогда x_k – выборочное среднее k-выборки определяется по формуле

Общее среднее вычисляется по формуле

 

, где

 

Основное тождество дисперсионного анализа имеет следующий вид:

Q = Q₁ + Q₂

где Q₁ – сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего (сумма квадратов отклонений между группами); Q₂ – сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней (сумма квадратов отклонений внутри групп); Q – общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общего среднего .

Расчет этих сумм квадратов отклонений осуществляется по следующим формулам:

 

 

В качестве критерия необходимо воспользоваться критерием Фишера:

 

.

 

Если расчетное значение критерия Фишера будет меньше, чем табличное значение – нет оснований считать, что независимый фактор оказывает влияние на разброс средних значений, в противном случае, независимый фактор оказывает существенное влияние на разброс средних значений (λ– уровень значимости, уровень риска, обычно для экономических задач λ=0,05).

Недостаток однофакторного анализа: невозможно выделить те выборки, которые отличаются от других.

 

Основные понятия факторного анализа

 

Факторный анализ — статистический метод, который ис­пользуется при обработке больших массивов экспериментальных данных. Задачами факторного анализа являются сокращение числа переменных и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных, поэтому факторный анализ используется как метод сокра­щения данных или как метод структурной классификации.

Задачами факторного анализа являются:

- сокращение числа переменных,

- определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных.

Факторный анализ может быть:

• разведочным — он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках;
• конфирматорным, предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках

Поэтому факторный анализ используется как метод сокращения данных или как метод структурной классификации.

Материалом для факторного анализа служат корре­ляционные связи, а точнее — коэффициенты корреляции Пир­сона, которые вычисляются между переменными, включенными в обследование. Иными словами, факторному анализу подвергают корреляционные мат­рицы, или, как их иначе называют, матрицы интеркорреляции. Наименования столбцов и строк в этих матрицах одинаковы так как они представляют собой перечень переменных, включенных в анализ. По этой причине матрицы интеркорреляций всегда квадратные, т.е. число строк в них равно числу столбцов, и симметричные, т.е. на симметричных местах относительно главной диагонали стоят одни и те же коэффициенты корреляции.

Главное понятие факторного анализа — фактор. Это искусст­венный статистический показатель, возникающий в результате специальных преобразований таблицы коэффициентов корреля­ции между изучаемыми психологическими признаками, или матрицы интеркорреляций. Процедура извлечения факторов из матрицы интеркорреляций называется факторизацией матрицы. В результате факторизации из корреляционной матрицы может быть извлечено разное количество факторов вплоть до числа, равного количеству исходных переменных. Однако факторы, вы­деляемые в результате факторизации, как правило, неравноцен­ны по своему значению.

Элементы факторной матрицы называются «факторными на­грузками, или весами», и они представляют собой коэффициен­ты корреляции данного фактора со всеми показателями, исполь­зованными в исследовании.