Расчет полной вероятности события.

 

Краткие теоретические сведения

Вероятность события А, которое может наступить лишь При появлении одного из несовместных событий (гипотез) B₁, B₂ … B_n образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А

(*)

где Р(В₁) + Р(В₂) +...+Р(В_n) = 1

Равенство (*) называют формулой полной вероятности.

 

 

Примеры решения задач

 

В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

 

Решение: Обозначим через А событие—извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: B₁ — белых шаров нет, В₂—один белый шар, Вз - два белых шара.

Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3

 

Р(В₁) = Р(В₂) = Р(В₃) = 1/3

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар,

 

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара,

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности

Три группы станков производят одни и те же детали, но качество деталей различно. Станки первой группы производят 94% стандартных деталей; второй группы – 90%, третьей группы – 85%. Все детали отправлены на выборочный контроль. Определить вероятность того, что произвольно взятая деталь будет соответствовать требрваниям стандарта, если число станков первой группы равно пяти, второй – трем, третьей – двум.

Решение: Событие А – проверенная деталь соответствует требованиям стандарта. Гипотезы В₁ – деталь произведена на станках первой группы, В₂ – второй группы, В₃ – третьей группы. Вероятность каждой гипотезы Р(В₁) = 0,5; Р(В₂) = 0,3; Р(В₃) = 0,2. Условные вероятности при этих гипотезах
, , Вероятность события А:

 

Переоценка вероятности события по формуле Бейеса

 

Краткие теоретические сведения

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Bi_; В2,..., В_п> которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса

Где

 

Примеры решения задач

Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности вто­рого. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй— 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение: Обозначим через А событие — деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): B₁ — деталь произведена первым автоматом, при­чем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй)

 

В2— деталь произведена вторым автоматом, причем

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом,

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом,

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

 

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

 

Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Решение. Обозначим через А событие — в каждом из двух испытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь.

Можно сделать три предположения (гипотезы): В₁— детали извлекались из первой партии; В₂ — детали извлекались из второй партии; В₃—детали извлекались из третьей партии.

Так как детали извлекались из наудачу взятой партии, то вероятности гипотез одинаковы:

Найдем условную вероятность Р_В1(А), т. е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому

 

Найдем условную вероятность Р_В2(А), т. е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали:

 

Найдем условную вероятность Р_ВЗ(А), т. е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали:

 

Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартные детали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса равна