Расчет вероятностных характеристик случайных величин

При классическом определении вероятность события определяется равенством

 

где m - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;

n - общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы единственно возможны и равновозможны.

 

Относительная частота события А определяется равенством

 

где m - число испытаний, в которых событие А наступило;

n - общее число проведенных испытаний.

При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.

Примеры решения задач

При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна а) стандартная деталь; б) стандартная деталь.

Решение: а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно не могла быть утеряна; могла быть утеряна любая из остальных тридцати деталей (21 + 10-1= 30), причем среди них было 20 стандартных (21- 1 = 20).

Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь

 

б) Среди тридцати деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что утеряна нестандартная деталь,

 

В результате статистического исследования надежности синхронных генераторов типа ЕС мощностью до 100 кВт получены данные за 10 лет. Распределение отказов по основным узлам машин следующее: обмотка ротора – 26, обмотка статора - 22, блок регулирующий напряжение – 188, подшипниковый узел - 21, контактно-щеточный узел – 72 требуется определить статистическую вероятность отказа каждого из перечисленных узлов.

Решение: Общее число зафиксированных отказов

Статистическая вероятность отказов соответственно:

для обмотки ротора

для обмотки статора

для блока регулирования напряжения

для подшипникового узла

для контактно-щеточного узла

 

В ящике содержится 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2,..., 10 наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь № 1; б) детали № 1 и № 2.

Решение: а) Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из десяти, т.е

.

Посчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: среди отобранных шести деталей есть деталь № 1 и, следовательно, остальные 5 деталей имеют другие номера. Число таких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми можно отобрать 5 деталей из оставшихся девяти, т.е

.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, к общему числу возможных элементарных исходов:

б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди отобранных деталей есть детали № 1 и № 2, следовательно, 4 детали имеют другие номера), равно числу способов, которыми можно отобрать 4 детали из оставшихся восьми, т.е. .

Искомая вероятность