Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Свойства определителя

Определителем (детерминантом) матрицы А второго порядка

А = называется число, равное разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей: , т.е.

= (6.1)

Определителем третьего порядка называется число, находимое по формуле:

= = = (6.2)

 

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса):

 

«+» «-»

(6.3)

 

Определитель обозначают: , D, det, Δ.

 

Пример. Вычислить определитель, пользуясь правилом треугольника

 

.

 

Решение. По формуле (6.3) получим

 

= 4∙0∙3 + 3∙(-1)∙(-4) + (-5)∙2∙1- (-5)∙0∙(-4) – 4∙(-1)∙1 – 3∙2∙3 =

= 0 + 12 – 10 – 0 + 4 – 18 = -12.

 

Свойства определителя

1) Величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами (т.е. транспонирование):

= ;

2) Величина определителя не меняется, если к элементам к.-л. его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число:

= ;

3) Величина определителя меняет знак, если поменять местами его строки или столбцы:

= - ;

4) Величина определителя увеличивается в k -раз, если элементы какого-либо его столбца или строки увеличить в k - раз, т.е. общий множитель, имеющийся в строке или столбце, можно выносить за знак определителя:

= k ;

 

5) Величина определителя равна нулю, если имеет две одинаковые строки (столбца);

6) Величина определителя равна нулю, если все элементы некоторой строки (или столбца) равны нулю.

7) Величина определителя равна нулю, если элементы 2-х строк (столбцов) пропорциональны;

8) Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали:

= = (6.4)

 

Формула Лапласа

Формула Лапласа позволяет понижать порядок заданного определителя. Для записи этой формулы необходимо ввести понятие минора и алгебраического дополнения элемента (i = 1,2,…, n; j = 1,2,…, n), расположенного на пересечении i - й строки и j - го столбца данного определителя.

Если в данном определителе вычеркнуть элементы i - й строки и j-го столбца, то останется определитель, имеющий порядок на единицу меньше, чем данный. Этот определитель называется минором () элемента .

Алгебраическим дополнением элемента данного определителя называется минор , взятый со знаком, соответствующим выражению , т.е.

= . (6.5)

 

Формула Лапласа основана на том, что определитель можно представить в виде суммы произведений элементов всякой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Этим данный определитель разлагается по элементам любой его строки (столбца), т.е.

разложение по элементам i–й строки:

, (6.6)

или разложение по элементам j–го столбца:

(6.7)

В частности, разложение определителя матрицы А третьего порядка по элементам первой строки имеет вид

 

= = · (-1) + ∙ (-1) +

+ ·(-1) =

= · - · + · (6.8)

 

или

 

(6.9)

 

Пример. Вычислить определитель по формуле Лапласа:

 

= .

Решение. Разложим данный определитель по третьей строке, применяя формулу (2.6), при i = 3:

 

= 0 +(-4)∙(-1) 4 · (3 · 5 – 2 ∙ (-1)) +

 

+ 2 · (3 ∙ 2 – 1 ·(-1)) = 4 · 17 + 2 ∙ 7 = 82.