I. Дифференцирование явных функций

Правила дифференцирования:

– постоянная, , – дифференцируемые функции:

(7.2) (7.6)

(7.3) (7.7)

(7.4) , (7.8)

(7.5) , (7.9)

Производная сложной функции. Если , , т.е. , где и имеют производные, то

(7.10)

Производная обратной функции. Если – дифференцируемая и строго монотонная функция на промежутке , то функция обратная к данной , также дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

, . (7.11)

Логарифмическая производная. Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.

. (7.12)

Формулы дифференцирования основных элементарных функций:

(7.13) (7.20)

(7.14) (7.21)

(7.15) (7.22)

(7.16) (7.23)

(7.17) (7.24)

(7.18) (7.25)

(7.19) (7.26)

II. Дифференцирование неявных функций

Если зависимость между и задана в неявной форме уравнением , то для нахождения производной функции необходимо продифференцировать по обе части данного уравнения, рассматривая как функцию от .Из полученного уравнения первой степени (относительно ) находится .

 

III. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Если функция аргумента заданнапараметрически уравнениями и , то

. (7.27)

IV. Производные высших порядков.

Производные п-го порядка называется производная от производной -го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции:

; …; . (7.28)

Если функция задана параметрически, то

; ; …; . (7.29)

 

3. Найти производные функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Решение.

а) Используя правила дифференцирования (7.2), (7.4), (7.6) и формулы (7.13), (7.16) и (7.17) получим

.

б) Используя правила дифференцирования (7.5) и формулу (7.25), получим:

.

в) Используя правила дифференцирования (7.8) и формулы (7.19) и (7.20), получим:

.

 

г) Используя правила дифференцирования сложной функции (7.10) и формулы (7.13) и (7.18), получим:

.

 

4. Найти производную обратной функции, если .

Решение. Находим производную функцию по переменной :

_.

Следовательно, согласно соотношению (7.11), получи:

.

5. Найти производные функций:

а) ; б) .

Решение.

а) Имеем показательно-степенную функцию. Используя метод логарифмического дифференцирования (7.12) получим:

.

Отсюда имеем:

.

б) Здесь заданную функцию также целесообразно прологарифмировать:

.

Найдем производную:

.

Тогда, согласно формуле (7.12), получим

.

 

6. Найти производную неявной функции .

Решение. Так как является функцией от , то будем рассматривать как сложную функцию от . Продифференцировав обе части данного уравнения по , имеем

.

Разрешая последнее уравнение относительно , получим:

.

7.17. Найти производную функции, заданной параметрически:

Решение. Используя правила дифференцирования функции, заданной параметрически (7.27), найдем:

и .

Отсюда .

7.18. Найти производную 4-го порядка от функции .

Решение. Последовательно дифференцируя функцию, получим:

; ; ; .

7.19. Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически:

Решение. Последовательно дифференцируя функцию, получим:

;

.

7.20. Найти производную n-го порядка от функции .

Решение. Последовательно дифференцируя функцию, получим:

; ; ;

; …;

.

Найти производные функций:

7.21. .

7.27.

7.29. .

7.35.

7.45. .

7.49. .

7.57. .

7.65. .

Найти производные обратных функций:

7.71. 7.72. 7.75. .

Найти производные от неявных функций:

7.76

7.77.

7.79 .

7.82.

7.84.

7.85 .

Найти производные функций, заданных параметрически:

7.89. 7.90. 7.91. .

Найти производные второго порядка функций:

7.94 7.95. 7.97. .

Найти производные -го порядка функций:

7.100. 7.101. 7.104. .

7.106. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

7.107. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

7.108. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

7.3. Геометрические и механические приложения производной

Краткая теория

1. Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением или , то есть угловой коэффициент касательной (тангенс угла ее наклона с положительным направлением оси абсцисс).

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

, (7.30)

а уравнение нормали:

. (7.31)

Углом между двумя кривыми , в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке , тангенс которого находится по формуле:

. (7.32)

2. Механический смысл производной. Если точка движения по закону , где - путь, - время, то представляет скорость изменения пути в момент . Вторая производная пути по времени есть скорость изменения скорости или ускорение точки в момент .

7.109. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. Вычислим значение функции в точке : . Производная функции . Значение производной в точке : . Согласно (7.30), уравнение касательной имеет вид: , или , а уравнение нормали (7.31) - , или .

7.110. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку .

Решение. Определим абсциссу точки касания из условия, что точка принадлежит касательной, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению (7.30): .

Подставляя в это соотношение выражение для значения функции и ее производной в точке , получим уравнение вида: . Решая его относительно , найдем, что . Определив значение функции и ее производной в этой точке, уравнение касательной запишем в виде: , или .

7.111. Составить уравнение касательной и нормали в точке (1; 4) к кривой, заданной параметрически: , .

Решение. Найдем значение , при котором , , из решения системы: Получим, что .

Производную определим по формуле (7.27): .

Значение производной при : .

Тогда уравнение касательной запишется в виде: , или , а уравнение нормали примет вид: , или .

7.112. Найти угол между параболами и в точке их пересечения.

Решение. Решив совместно систему уравнений парабол, находим точку их пересечения: и Продифференцировав уравнения парабол , , найдем их угловые коэффициенты в точке пересечения: Согласно (7.32), тангенс угла между параболами будет равен: Следовательно,

 

Составить уравнение касательной и нормали к кривым в указанных точках:

7.113.

7.114.

7.115.

7.116.

7.117.

7.118.

7.119.

7.120.

 

7.121. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции, проведенная в указанной точке? Написать уравнение касательной:

а) б)

7.122. Составить уравнение касательной к кривой параллельной прямой, проходящей через точки (1;7) и (-2;2).

7.123. Составить уравнения касательных к кривой перпендикулярных прямой

7.124. Составить уравнение касательной к кривой перпендикулярной прямой, образующей с осью абсцисс угол .

7.125. Составить уравнения касательных к кривой

а) параллельных прямой

б) перпендикулярных прямой .

7.126. Составить уравнение касательной к кривой :

а) проходящей параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов;

б) отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный –1.

7.127. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку М (6; 2).

7.128. Найти угол между кривыми:

а) и ; б) и ; в) и .

7.129. Тело движется прямолинейно по закону s(t). Определить скорость и ускорение тела в указанный момент времени :

а) , ; б) , .

7.130. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону: . Найти начальную скорость и ускорение тела () и максимальную высоту подъема (при которой скорость ).

 

7.4. Предельный анализ экономических процессов

Краткая теория

 

1. Предельные величины. Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуют не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Издержки производства. Если издержки производства рассматривать как функцию выпускаемой продукции , т.е. , то будет выражать предельные издержки производства и приближенно характеризовать прирост переменных затрат на производство дополнительной единицы продукции. Средние издержки являются издержками на единицу выпуска продукции: .

2. Производительность труда. Пусть функция выражает объем произведенной продукции за время . Тогда производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .

3. Функция потребления и сбережения. Если - национальный доход, - функция потребления (часть дохода, которая тратится), а - функция сбережения, то

. (7.33)

Дифференцируя, получим, что

, (7.34)

где - предельная склонность к потреблению; - предельная склонность к сбережению.

4. Эластичность. Эта мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Эластичность функции определяется с помощью соотношения:

или , (7.35)

где

(7.36)

– относительная скорость изменения (темп) функции.

Эластичность функции применяется при анализе спроса и предложения от цены (ценовая эластичность). Она показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%.

Если эластичность спроса , то спрос считается эластичным, если – нейтральным (с единичной эластичностью), а если – неэластичным относительно цены.

7.131. Функция издержек производства продукции некоторой фирмой имеет вид: (ден. ед.). Найти средние и предельные издержки производства и вычислить их значение при .

Решение. Найдем производную и ее значение - предельные издержки производства:

.

Средние издержки:

;

.

Это означает, что при данном уровне производства (количестве выпускаемой продукции) средние затраты на производство одной единицы продукции составляют 28 ден. ед., а увеличение объема на одну единицу продукции обойдется фирме приближенно в 11 ден. ед.

7.132. Функция потребления некоторой страны имеет вид:

,

где - совокупный национальный доход (ден. ед.). Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27 ден. ед.

Решение: Предельная склонность к потреблению: ; ее значение: .

Предельная склонность к сбережению:

; ее значение: .

7.133. Объем производства зимней обуви , выпускаемый некоторой фирмой, может описан уравнением (ед), где - календарный месяц года. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения: а) в начале года (); б) в середине года (); в) в конце года ().

Решение. Производительность труда выражается производной (ед./мес.), а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной и логарифмической производной : (ед./мес.²), (ед./мес.).

В заданные моменты времени соответственно имеем (ед./мес.), (ед./мес².), (ед./мес.), (ед./мес.), (ед./мес².), (ед./мес.), (ед./мес.²), (ед./мес.²), (ед./мес.).

7.134. Функция спроса и предложение , где и - количество товаров, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, - цена единицы товара. Найти: а) равновесную цену, то есть цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения; в) изменение дохода при увеличении цены на 10% от равновесной.

Решение: а) Равновесная цена определяется из условия , т.е. ; откуда , т.е. равновесная цена равна 2 ден. ед.

б) Найдем эластичности по спросу и предложению по формуле (7.35):

; .

Для равновесной цены имеем ; .

Так как полученные значения эластичности меньше 1 (по абсолютной величине), то спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

в) При увеличении цены на 10% от равновесной спрос уменьшается на , следовательно, доход возрастает приближенно на 9%.

7.135. Зависимость между спросом и ценой за единицу продукции, выпускаемой некоторым предприятием, дается соотношением . Найти эластичность спроса. Выяснить, при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным. Какие рекомендации о цене за единицу продукции можно дать руководителям предприятия при и при ден. ед.?

Решение. Эластичность спроса по формуле (7.35) есть .

Спрос нейтрален, если . Решая это уравнение, имеем . Далее, принимая во внимание, что и (т.е. ), получим, что если - спрос является неэластичным; при - спрос эластичен.

Рекомендации. Если цена единицы продукции составляет 100 ден. ед., то спрос является неэластичным и можно повысить цену продукции, выручка при этом будет расти. При стоимости продукции 150 ден. ед. спрос является эластичным. В данном случае целесообразно рассмотреть предложение о снижении цены, выручка от реализации будет расти в результате увеличения спроса на продукцию.

7.136. Задана функция полных затрат предприятия на производство единиц продукции. Определить связь между коэффициентом эластичности полных и средних затрат.

Решение. Средние затраты на единицу продукции равны: . По формуле (7.35.) коэффициенты эластичности полных и средних затрат равны: ;

, т.е. коэффициент эластичности средних затрат на единицу меньше коэффициента эластичности полных затрат.

7.137. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукции на предприятии выражается функцией . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

7.138. Выручка от продажи конфет составляет , где - объем проданной продукции (тыс. ед.). Найти среднюю и предельную выручку, если продано: а) 10 тыс. ед.; б) 60 тыс. ед.

7.139. Функция издержек производства от объема выпускаемой продукции имеет вид . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

7.140. Себестоимость продукции связана с объемом выпускаемой продукции уравнением: . Определить среднюю и предельную себестоимость выпускаемой продукции при объеме, равной 10 ед.

7.141. Производительность труда бригады может описана уравнением , где - рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при и .

7.142. Себестоимость производства телевизоров (в тыс. руб.) описывается функцией , , где - объем выпускаемой продукции в месяц (тыс. ед.). Определить скорость и темп изменения себестоимости и при выпуске 20 и 40 тыс. ед. продукции.

7.143. Функция потребления некоторой страны имеет вид: , где - совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 32.

7.144. Функция потребления некоторой страны имеет вид: , где - совокупный национальный доход. Найти: а) предельную склонность к потреблению; б) предельную склонность к сбережению, если национальный доход составляет 27.

7.145. Зависимость между себестоимостью готовой продукции предприятия (млн. руб.) и объемом выпускаемых изделий (тыс. шт.) выражается уравнением . Найти эластичность себестоимости продукции предприятия, выпускающего 12 тыс. шт. изделий. Какие рекомендации можно дать руководителям предприятия об изменении величины объема выпускаемой продукции?

7.146. Функция полных затрат в зависимости от объема выпускаемой продукции задана соотношением: . При каком объеме производства предельные и средние затраты совпадают? Найти коэффициенты эластичности полных и средних затрат при данном объеме.

7.147. Зависимость между объемом выпуска готовой продукции (млн. руб.) и объемом производственных фондов (млн. руб.) выражается уравнением . Найти эластичность выпуска продукции для предприятия, имеющего фонды в размере 40 млн. руб.

7.148. Зависимость между себестоимостью единицы продукции (в руб.) и выпуском продукции (в млн. руб.) выражается уравнением . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции на 30 млн. руб.

7.149. Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии (тыс. ед.) и затратами на их изготовление (тыс. руб.) для предприятия отрасли выражается уравнением . Найти эластичность затрат для предприятий, выпускающих по 10 тыс. деталей в партии.

7.150. Найти эластичность функции спроса при заданной стоимости :
а) , ; б) , ; в) , и .

7.151. Для следующих функций спроса найти значение , при которых спрос является эластичным: а)