Раздел II. Введение в анализ

Раздел II. Введение в анализ

Глава 5. Функция

Краткая теория

1. Если каждому элементу (значению) множества поставить в соответствие определенный элемент (значение) множества , то говорят, что на множестве задана функция ; при этом множество называется областью определения функции , а множество - областью значений функции .

2. Функция называется четной, если для любых значений из области определения функции , и нечетной, если . В противном случае - функция общего вида.

3. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции . Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

4. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое число , что , для всех . В противном случае функция называется неограниченной.

5. Если функция есть функция переменной (определенной на множестве с областью значений ), а переменная , в свою очередь, также является функцией (определенной на множестве с областью значений ), то заданная на множестве функция называется сложной функцией.

6. Основные элементарные функции:

а) степенная функция ;

б) показательная функция

;

в) логарифмическая функция

;

г) тригонометрические функции ;

д) обратные тригонометрические функции .

7. Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

8. Функция называется периодической с периодом , если для любых .

9. Преобразование графиков:

а) - сдвигает график параллельно оси на единиц, ( - влево, - вправо);

б) - сдвигает график параллельно оси на единиц ( - вверх, - вниз);

в) - растягивает в раз или сжимает график относительно оси ; при симметрично отображает график относительно оси ;

г) - растягивает в раз или сжимает график относительно оси , при симметрично отображает график относительно оси .

10. Абсолютная величина (модуль) действительного числа :

5.1. Найти область определения функции

.

Решение. Так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательно, знаменатель дроби отличен от нуля, а выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительно, то область определения функции найдем из системы неравенств:

или откуда

Значения переменной , которые удовлетворяют всем неравенствам системы одновременно, есть .

5.2. Найти область значений функции .

Решение. Воспользуемся определением обратной функции, в соответствии с которым область ее определения будет являться областью значений исходной функции. Найдем функцию, обратную к функции , выражая через или .

Так как , то , откуда и , т.е. найденный полуинтервал и является областью значения искомой функции.

5.3. Выяснить четность (нечетность) функции:

а) ; б) .

Решение:

а) Найдем

Так как , то по определению (п.2) искомая функция является четной;

б) так как и , то по определению (п. 2) искомая функция является функцией общего вида.

5.4. Найти основной (наименьший) период функции .

Решение: По определению периодической функции (п. 8) для любых и . Для имеем:

, или , откуда . т.е. . Полученное равенство будет выполняться при любых , т.е. тождественно, если сомножитель, не содержащий , будет равен нулю, т.е. и наименьшее (не равное нулю) .

5.5. Постоянные издержки (не зависящие от числа х произведенной продукции) составляют 125 тыс. руб. в месяц, а переменные издержки (пропорциональные ) – 700 руб. за каждую единицу продукции. Цена единицы продукции 1200 руб. Найти объем продукции , при котором прибыль равна: а) нулю (точка безубыточности); б) 105 тыс. руб. в месяц.

Решение:

а) Издержки производства единиц продукции составят: (тыс. руб.). Совокупный доход (выручка) от реализации этой продукции , а прибыль (тыс. руб.). Точка безубыточности, в которой , равна (ед.).

б) прибыль равна 105 (тыс. руб.), т.е. при (ед.).

5.6. Продолжительность выполнения (мин.) при повторных операциях связана с числом этих операций зависимостью . Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях, если известно, что при , а при .

Решение. Найдем параметры и , учитывая, что , . Имеем систему:

решая которую найдем .

Итак, и при (мин.).

Найти области определения функций:

5.12. .

5.13. .

5.14. .

5.15. .

5.16. .

Найти области значений функций:

5.17. .

5.18. .

5.19. .

5.20. .

5.21. .

Выяснить четность (нечетность) функций:

5.22. .

5.23. .

5.24. .

5.25. .

5.26. .

Найти наименьший период функций или доказать их непериодичность:

5.27. .

5.28. .

5.29. .

5.30. .

5.31. .

5.32. Дана функция , найти .

5.33. Дана функция ,найти .

5.34. Известно, что , а . Найти .

5.35. Известно, что , а . Найти .

5.38. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9 %. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.

5.39. Зависимость уровня потребления некоторого вида товаров от уровня дохода семьи выражается формулой: . Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден. ед. Известно, что при ; при ; при .

5.40. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.;

б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10000 руб.

Указание. Размер вклада через лет определяется по формуле , где - процентная ставка за год, - первоначальный вклад.

Краткая теория

1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу п поставлено в соответствие определенное число а_п, то говорят, что задана числовая последовательность { а_п }.

2. Число А называется пределом числовой последовательности { а_п }, если для любого e > 0 найдется такой номер N, зависящий от e, что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство .

3. Число А называется пределом функции у = f(х) при х ® ¥, если для любого

e > 0 найдется также число S > 0, зависящее от e, что для всех х таких, что | х| > S будет верно неравенство .

4. Число А называется пределом функции f(х) при х ® x₀, если для любого e > 0 найдется число d > 0, зависящее от e, что для все х ≠ x₀ и удовлетворяющих условию

| x – x₀| < d выполняется неравенство

5. Функция a(х) называется бесконечно малой величиной при х ® x₀ (или

х ® ¥), если

6. Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х ® x₀, если для любого М > 0 найдется такое число d > 0, зависящее от М, что для всех х ≠ x₀ и удовлетворяющих условию | x – x₀| < d будет верно неравенство

7. Свойства бесконечно малых. Если a(х) и b(х) — бесконечно малые величины при х ® x₀ (или х ® ¥), то будут бесконечно малыми величины: a(х) ± b(х); с × a(х),
с – постоянная; f(x)× a(х) (f(x) – ограниченная функция); a(х) × b(х);

8. Свойства бесконечно больших. Если f(x) и j (х) – бесконечно большие величины при х ® x₀ (или х ® ¥), то будут бесконечно большими величинами: f (x) + j(х) (j (х) — ограниченная функция); f(x)/ j (х) (j (х) имеет предел).

9. Если функция a(х) есть бесконечно малая величина при х ® x₀ (или х ® ¥), то функция является бесконечно большой, и обратно, если f(x) бесконечно большая функция при х ® x₀ (х ® ¥), то является бесконечно малой величиной.

10. Сравнение порядков бесконечно малых. Если a(х) и b(х) — бесконечно малые величины при х ® x₀ (х ® ¥) и то при k = 0 бесконечно малая a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем b(х); при 0 < k < ¥ — одного порядка малости; при k = ¥ — более низкого порядка малости, чем b(х).

Если k = 1, то бесконечно малые a(х) и b(х) называются эквивалентными: a(х) ~b(х).

11. Примеры эквивалентных бесконечно малых величин при х ® 0: sin x ~ x; ln(1+ x) ~ x; (1 + x) ^m ~ 1+ mx; arcsin x ~ x; arctg x ~ x; 1 – cos x ~ x ²/2.

12. Предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

13. Теоремы о пределах:

1) .

2) Если

то:

14. Если , , то .

15. Первый замечательный предел:

16. Второй замечательный предел (число е):

6.1. Определение предела. Простейшие пределы

Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

6.4. Найти

Решение. Подставляем вместо х в выражение под знаком предела 3, получим

.

6.5. Найти .

Решение. Знаменатель дроби х ³ при х ® ¥ является бесконечно большой величиной, при х ® ¥ является бесконечно малой величиной, следовательно, искомый предел равен нулю.

6.6. Найти

Решение. Знаменатель дроби (х — 4) при х ® 4 является бесконечно малой величиной, тогда 1/(х – 4) – бесконечно большая величина; числитель дроби 2 х ² является функцией, предел которой отличен от нуля

Функция 2 х ²/(х – 4) является бесконечно большой величиной, т.е. искомый предел равен ¥.

6.2. Раскрытие неопределенностей различных типов

Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привести к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов

Устранить неопределенность удается часто с помощью алгебраических преобразований.

6.12. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида [¥ – ¥]. Вынесем за скобку х в наибольшей степени:

х ⁴ является бесконечно большой величиной при х ® ¥. По теоремам о пределах

так как и при х ® ¥ являются бесконечно малыми величинами, а предел постоянной равен самой постоянной (единице). По свойству бесконечно больших является бесконечно большой величиной, т.е. искомый предел равен ¥.

Ответ данной задачи и приведенные в решении выкладки будем использовать при решении следующих примеров как заранее известные факты. Рассмотрим несколько типов примеров, классифицируя их по виду неопределенности и предельному значению х.

1-й тип. Рассмотрим примеры вида с неопределенностью вида , где f(x) и j (х) в общем случае – сложные степенные или показательные функции. В случае степенных функций необходимо выносить за скобку в числителе и знаменателе дроби х с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; в случае показательных функций за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

6.13. Найти

Решение. Вынося за скобку и в числителе и в знаменателе х в наибольшей степени, получим

так как , , , – величины бесконечно малые при х ® ¥.

6.17. Найти

Решение. При показательная функция , при стремится к . Быстрее будет возрастать та функция, у которой основание больше, поэтому в нашем случае выносим за скобки :

так как при и при .

 

Найти пределы:

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

6.26.

 

2-й тип. Рассмотрим примеры вида с неопределенностью вида В этом случае необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби или домножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

6.45. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: числитель – по формуле сокращенного умножения а знаменатель – по формуле разложения квадратного трехчлена на множители при

где

Получим

После сокращения дроби следует подставить предельное значение х в сокращенную дробь. Получим

6.46. Найти

Решение. 1-й способ. Имеем неопределенность вида Дополним числитель до разности квадратов а знаменатель до разности кубов Получим

2-й способ. Сделаем замену переменной: тогда а при т.е. Теперь

 

Найти пределы:

6.47.

6.48.

6.49.

6.50.

6.51.

6.52.

6.53.

6.54.

6.55.

6.56.

6.57.

6.58.

 

3-й тип. Рассмотрим примеры с неопределенностью вида [∞ – ∞]. Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения дробей к общему знаменателю. Если упомянутая функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к 1-му типу путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

6.68. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида [∞ – ∞]. Приведем дроби к общему знаменателю:

Имеем предел 2-го типа, необходимо разложить на множители числитель дроби. Получим

6.69. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида [∞ – ∞]. Домножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела на сопряженное выражение, приводящее к разности квадратов:

 

Имеем предел 1-го типа.

При по определению модуля; поэтому

так как при - бесконечно малые величины.

 

Найти пределы:

6.70.

6.71.

6.72.

6.73.

6.74.

6.75.

6.76.

6.77.

6.78.

6.79.

6.80.

6.81.

6.82.

6.83.

6.84.

6.85.

6.86.

6.87.

6.3. Замечательные пределы

К пределам 4-го типа отнесем примеры с неопределенностью вида . В этом случае выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела».

6.97. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида , так как

Выделим целую часть дроби

является бесконечно малой величиной при х → ∞. Домножим показатель степени на это действие не нарушает знака равенства:

ибо Найдем Имеем неопределенность вида предел 1-го типа. Вынесем за скобки х ², так как вторая степень наибольшая:

так как Таким образом предел равен

6.99. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида преобразуем ее в неопределенность вида , пользуясь свойствами логарифмов:

Получим

Учитывая непрерывность логарифмической функции, символы lim и ln можно переставить, получим

так как по формуле

Найти пределы:

6.100.

6.101.

6.102.

6.103.

6.104.

6.105.

6.106.

6.107.

6.108.

 

5-й тип. К этому типу отнесем функции, сводящиеся к первому замечательному пределу (6.1):

6.121. Найти

Решение.

Первый сомножитель представляет собой первый замечательный предел и равен 1, второй сомножитель представляет предел, равный . Таким образом, искомый предел равен 1×1 = 1.

6.122. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида Сделаем замену переменной:

arcsin х = у; тогда х = sin у; при х → 0, у →0; получим

Имеем первый замечательный предел, следовательно искомый предел равен 1, что и требовалось доказать.

 

Найти пределы:

6.124.

6.125.

6.126.

6.127.

6.128.

6.129.

6.130.

6.131.

6.132.

6.133.

6.134.

6.135.

He рассмотренные в этой главе неопределенности видов [0×¥], [0°] и [¥°] могут быть устранены при помощи правила Лопиталя, которое будет рассмотрено в главе 8.

6.5. Непрерывность функции и точки разрыва.

Краткая теория

1. Функция называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке x₀; 2) имеет конечный предел при х → x_{0 ;}

3) этот предел равен значению функции в этой точке: (6.1)

(первое определение).

2. Функция называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: (6.2)

(второе определение).

3. Если функции и непрерывны в точке, то их сумма, произведение и частное (при условии, что знаменатель отличен от нуля) являются функциями, непрерывными в этой точке.

4. Если функция у = непрерывна в точке u₀ = , а функция u= непрерывна в точке x₀, то сложная функция у = непрерывна в точке x₀.

5. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

6. Если не выполнено определение непрерывности (6.1) или (6.2), то функция в точке x₀ терпит разрыв, причем:

а) если хотя бы один из односторонних пределов