Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре событий».

Основные понятия и определения.

Пусть - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт наступление А. Эти элементарные события благоприятствуют появлению А. Множество этих элементарных событий обозначим тем же символом А, что и соответствующее событие.

Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий, входящих в указанное множество А. Мы отождествляем событие А и соответствующее ему множество А элементарных событий.

Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления любого элементарного события. Обозначение: .

Невозможным назовём событие, не наступающее ни при каком элементарном событии. Обозначение: Æ.

Пример. В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.

Суммой (или объединением) двух событий А и В назовём событие А+В (или АÈВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В. Очевидные соотношения: А+Æ=А, А+ = , А+А=А.

Пример. Событие «выпало чётное» является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.

Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовём событие АВ (или АÇВ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В.

Очевидные соотношения: АÆ=Æ, А =А, АА=А.

Пример. «Выпало 5» является пересечением событий: выпало нечётное и выпало больше 3-х.

Два события назовём несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно, т.е. АВ=Æ.

Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события несовместные.

Событие назовём противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидные соотношения: А+ = , А =Æ, =А.

Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события противоположные.

Разностью событий А и В назовём событие А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В. Очевидные соотношения: = \А, А\В=А .

Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.

Пример. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А – попадание в цель при первом выстреле и В – при втором, тогда и - промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Перечисленные варианты можно соответственно записать: А , В и АВ. Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть

С= А + В+АВ.

С другой стороны, событие , противоположное С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно записать в виде С= .