Практической работы №8 по теме

«Прямая и плоскость в пространстве»

Задача №1. Из точки M проведена к плоскости α наклонная MF длинной 14 см. Угол между наклонной и плоскостью равен 60°, найти расстояние от точки M до плоскости α.

Дано: М∉α, MF- наклонная, MF = 14 см;

MN⊥α, FN- проекция наклонной;

,

Найти:

Решение:

1) По определенным перпендикулярности прямой и плоскости:

2) По определению перпендикулярности прямой и плоскости: ,

так как и . Значит, треугольник MNF - прямоугольный.

3) Решим прямоугольный ,

.

Ответ: .

Задача №2. Из вершины А прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр AN к плоскости прямоугольника. Найти расстояние от точки N до плоскости прямоугольника, если известны расстояния от этой точки до трёх вершин прямоугольника: .

Дано: ABCD- прямоугольник,

AN- перпендикуляр к плоскости (ABC),

, ,

Найти:

 

Решение:

1) По определению расстояния от точки до плоскости: , тогда

.

2) По теореме о трёх перпендикулярах: , так как

NB- наклонная к плоскости (ABC), AB- её проекция на плоскость (ABC),

и (так как ABCD- прямоугольник).

3) По теореме Пифагора в треугольнике NBC:

, тогда , отсюда находим

, , , .

4) По определению перпендикулярности прямой и плоскости:

Значит, треугольник

NAD -прямоугольный, по теореме Пифагора: ,

, , , ,

.

Ответ: .

 

Методические указания и примеры типового расчёта

Практической работы №9 по теме

«Дифференцирование функций»

Теория

Формулы дифференцирования:

1) производная постоянной:

2) производная аргумента:

3) производная суммы функций:

4) производная произведения двух функций:

5) производная частного двух функций:

Определение: Сложной функцией называется функция, аргументом которой является другая функция.

Сложная функция это функция от функции.

Правило дифференцирования сложной функции: разбить функцию на простые функции, найти производные от всех простых функций и эти производные перемножить.

Пример 1. Найти производную функции

Решение:

.

Пример 2. Найти производную функции

Решение:

Пример 3. Найти производную функции .

Решение:

 

Методические указания и примеры типового расчёта

Практической работы №10 по теме

«Неопределенный и определенный интегралы»

Теория

Определение. Первообразной функцией для функции называется такая функция , производная от которой равна : F'(x) = f(x).

Определение. Неопределённый интеграл это совокупность всех первообразных функций для дифференциала :

+c

Основныесвойства неопределенного интеграла:

1.Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: d f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции, сложенной с произвольной постоянной: dF(x) = F(x)+C.

3. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

( x) + (x)) dx = (x) dx+ (x) dx.

4.Постоянный множитель можно вынести за знак неопределённого интеграла (как множитель): kf (x) dx = k f (x) dx, где k-постоянный множитель.

 

Таблица основных формул интегрирования

1. ; 2. n 9.

3. , 4. , 10.

5. , 6. ,

7. , 8. ,

Метод непосредственного интегрирования

Непосредственным интегрированием называется такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.