Методы синтеза аналоговых фильтров прототипов

Общий подход к синтезу аналоговых фильтров-прототипов таков, что на первом этапе синтезируется так называемый НЧ-прототип, а потом на основе НЧ-прототипа, в зависимости от заданной частотной избирательности, строятся либо ФНЧ, либо ФВЧ, полосовой или режекторный аналоговый фильтр-прототип.

Методика расчета БИХ-фильтров на основе аналоговых НЧ- прототипов следующая:

1. согласно методу синтеза БИХ-фильтра формулируются требования к соответствующему аналоговому фильтру-прототипу;

2. для аналогового фильтра-прототипа определяется нормированный аналоговый НЧ-прототип, то есть такой, для которого частота среза равна 1;

3. для нормированного аналогового НЧ-прототипа рассчитываются полюсы и нули его АЧХ;

4. с помощью формул преобразования частот производится преобразование нормированного НЧ-прототипа в аналоговый нормированный прототип (НЧ, ВЧ, полосовой или режекторный), соответствующий требуемому цифровому фильтру;

5. осуществляется денормирование нулей и полюсов аналогового фильтра-прототипа;

6. производится пересчет нулей и полюсов из P- области в Z- область.

 

Реактансные преобразования

Для расчета нормированного НЧ-прототипа необходимо преобразовать граничные частоты рассчитываемого фильтра к частоте аналогового НЧ- прототипа, то есть произвести нормирование частот, а затем, после расчета НЧ-прототипа, выполнить обратную процедуру. Такие преобразования частот называются реактансными.

 

 

 

Аналоговый фильтр	Формула для σгр	Формула для нулей и полюсов
НЧ
ВЧ
ПФ
РФ

Аппроксимация АЧХ рациональными функциями

Имеется 3 стандартных типа классических функций аппроксимации аналоговых фильтров, получивших свое название по виду аппроксимации:

1. Баттерворта;

2. Чебышева I и II рода;

3. Эллиптический фильтр Золотарева- Кауэра.

Эти 3 вида фильтра относятся к так называемому чебышевскому типу, но существует также и гауссовский тип - функция Бесселя.

 

Фильтр Баттерворта.

Аппроксимирующий полином такого фильтра имеет вид:

, где N – порядок фильтра

АЧХ такого фильтра является монотонной и в полосе пропускания и в полосе задерживания, а также характеризуется очень широкой переходной полосой.

 

 

 

 

Основное свойство фильтра Баттерворта — равенство амплитудно-частотной характеристики величине 0,707 на частоте среза — говорит о том, что проце­дура аппроксимации сосредотачивается на двух частотах: ω= 0 и ω=∞. По­этому единственным параметром является порядок N, определяющий степень плоскости на указанных крайних частотах: чем выше порядок, тем более плоской оказывается АЧХ и тем более близкой становится она к желаемой характеристике как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания.

При увеличении порядка фильтра возрастает коэффициент прямоугольности, то есть уменьшается переходная полоса. Чем выше порядок фильтра, тем более близкой к идеальной является АЧХ фильтра. Нули находятся на ω=±∞ (соответст­венно на z-плоскости в точке z =-1). Полюсы равномерно распределены на единичной окружности р-плоскости. Полюса рассчитываются по формуле

, где k- номер рассчитываемого полюса.

 

Выводы:

· фильтры Баттерворта обладают максимально плоской АЧХ в полосе про­пускания и монотонной в полосе задерживания;

· в полосе пропускания ФЧХ близка к линейной;

· фильтры Баттерворта применяются при необходимости сохранения соот­ношений составляющих сигнала по амплитуде и фазе.

 

Фильтр Чебышева

Чтобы получить достаточно крутую характеристику АЧХ в переходной области для фильтра Баттерворта необходимо использовать очень высокий порядок. Ту же характеристику в переходной полосе и при гораздо меньшем порядке, можно получить с помощью фильтров Чебышева, в которых ошибка аппроксимации равномерно распределена по полосе пропускания или по полосе задерживания. В зависимости от области, в которой минимизируется ошибка аппроксимации, различают фильтры Чебышева I и II рода.

Фильтр I рода в полосе пропускания имеет равноволновой характер аппроксимации АЧХ, а в полосе задерживания – оптимально плоский. Фильтр II рода в полосе задерживания имеет волновой характер аппроксимации, а в полосе пропускания – оптимально плоский.

 

 

АЧХ фильтра Чебышева I рода:

, где ;

 

Нули у фильтра Чебышева I рода не вычисляются, а для полюсов используется следующая формула:

Для фильтров Чебышева II рода используется следующий вид аппроксимирующего АЧХ полинома:

 

Полюса рассчитываются по формуле:

Нули рассчитываются по формуле:

 

Эллиптические фильтры

Они характеризуются равноволновой АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания; но более крутой характеристикой в переходной полосе при тех же порядках, что и в фильтре Чебышева.

Поэтому такие фильтры применяют в задачах, тре­бующих высокой избирательности и не критичных к виду фазочастотной
характеристики, которая не является линейной.

 

 

 

, где - эллиптический полином

 

Данный тип фильтра не так часто используется в связи со сложностью его расчета.

 

 

Фильтр Бесселя

 

Для него аналитическая АЧХ не задается, а задается передаточная функция:

, где

 

Синтез БИХ- фильтров методом стандартного z- преобразования.

Данный метод использует прямую дискретизацию аналоговых БИХ- фильтров. Иначе он называется методом инвариантности импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа. Под инвариантностью понимают равенство цифровых отсчетов импульсной характеристики цифрового фильтра h(nT) и значений импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа g(t).

Для решения задачи синтеза таким методом необходимо:

1. найти импульсную характеристику прототипа g(t);

2. получить импульсную характеристику БИХ-фильтра h(nT) путем дискретизации g(t) с шагом дискретизации T;

3. найти передаточную функцию БИХ-фильтра, выполнив следующее преобразование от полученной импульсной характеристики h(nT):

Алгоритм синтеза БИХ-фильтров методом стандартного z- преобразования:

1. задать требования к ЦФ (тип частотной избирательности, граничные значения частот, допуски АЧХ в полосах пропускания и задерживания и тип фильтра по виду аппроксимируемого полинома);

2. рассчитать нули и полюсы аналогового фильтра-прототипа с помощью реактансных преобразований;

3. на основании рассчитанных нулей о полюсов построить передаточную функцию АФ G(p);

4. разложить G(p) на простые дроби вида:

;

5. используя дискретизацию перейти от передаточной функции G(p) к передаточной функции H(z).

Основным недостатком метода инвариантности импульсной характеристики прототипа является искажение АЧХ соответствующего цифрового фильтра вследствие наложения АЧХ, что объясняется периодичностью, а потому и неоднозначностью отображения р-плоскости на z-плоскость. Причем эти искажения оказываются столь велики, что метод инвариантности накладывает ограничения на синтез цифровых фильтров верхних частот, режекторных и широкополосных фильтров.

 

Процедура синтеза БИХ-фильтров методом билинейного z- преобразования

Метод стандартного Z-преобразования вносит частотные искажения при построении передаточной функции H(z), которые накладывают ограничения на синтез фильтров ВЧ, полосовых и режекторных. От этих недостатков позволяет избавиться метод синтеза БИХ-фильтров, который основан на аппроксимации оператора p комплексной переменной z.

Такая аппроксимация оператора p называется билинейным z-преобразованием.

Используя соотношение запишем его в виде:

 

Представим рядом Тэйлора:

 

 

Взяв первый член этого ряда получим:

 

Перейдем к отрицательным степеням переменной z путем умножения числителя и знаменателя на z^-1, что даст:

 

где

 

Отсюда получаем выражение для

(7.1)

 

Алгоритм синтеза ЦФ при билинейном z- преобразовании отличается от алгоритма стандартного z- преобразования путем замены пп. 4-5 на переход от выражения G(p) к H(z) согласно формуле (7.1).

 

 

Лекция 8. Основы адаптивной обработки сигналов.