Определение момента инерции маховика

Цель работы: определить момент инерции махового колеса относительно оси вращения.

 

Теоретическое обоснование

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой оси OO’ (рис. 10.1) называется величина

 

, (10.1)

где - масса k -ой материальной точки, на которые мысленно разбито тело ();

- расстояние от точки до оси.

 

 

 

 

Если масса сосредоточена в элементарном объёме , а плотность вещества в окрестности рассматриваемой точки , то = и из уравнения (10.1) для момента инерции можно записать

 

. (10.2)

Рис. 10.1. Схема к определению момента инерции

 

Метод экспериментального определения момента инерции твёрдого тела основан на использовании закона изменения механической энергии системы в процессе её движения. Изменение механической энергии системы

 

, (10.3)

где Т – кинетическая энергия системы;

П – собственная потенциальная энергия системы;

А^е – суммарная работа всех внешних сил, действующих на систему;

А^інкс – суммарная работа всех внутренних неконсервативных сил.

В пределах небольших высот потенциальная энергия тела массы m у поверхности Земли определяется уравнением

 

, (10.4)

где - ускорение силы тяжести у поверхности Земли (9,81 м/с²);

- высота центра инерции тела над произвольно выбранным у поверхности Земли нулевым уровнем потенциальной энергии.

Представим работу внешних сил А^е в виде

, (10.5)

где - изменение потенциальной энергии системы во внешнем поле;

- суммарная работа внешних неконсервативных сил,

Вместо уравнения (10.3) получим

. (10.6)

Полная механическая энергия системы во внешнем поле будет определяться суммой

. (10.7)

Определение момента инерции махового колеса в данной лабораторной работе основано на использовании закона изменения полной механической энергии системы в поле силы тяжести. На систему «груз + маховик» (рис. 10.2) действуют внешние консервативные силы тяжести и реакции опор, неконсервативные силы тяжести и реакции опор, а также неконсервативные силы сопротивления воздуха и силы трения в опорных стойках. Если пренебречь работой сил сопротивления воздуха и работой внутренних неконсервативных сил, то изменение полной механической энергии системы

 

, (10.8)

 

где А_тр – работа сил трения в опорах.

 

 

Рис. 10.2. Принципиальная схема установки:

1 – шкив; 2 – маховое колесо; 3,4 – опоры; 5 – груз

 

Пусть в начальный момент времени t₀ = 0 подвешенный груз массой m находится на высоте h₁ от наиболее низкого положения возможного опускания груза. Учитывая возможность произвольного выбора нулевого уровня потенциальной энергии и пренебрегая массой нити, начальная энергия механической системы будет равна

 

, (10.9)

где - сумма потенциальной энергии махового колеса со шкивом в поле тяжести и собственной потенциальной энергии системы.

Считаем, что изменение собственной потенциальной энергии в процессе движения пренебрежимо мало. В нижней точке для полной энергии системы при плоском движении получае

, (10.10)

где - скорость подвешенного тела в нижней точке;

- угловая скорость вращения шкива в момент, соответствующий нижней точке размещения груза;

- момент инерции маховика относительно оси вращения.

Изменение полной энергии системы с учётом уравнений (10.8) и (10.9)

, (10.11)

где - сила трения в опорах (предполагаем, что при движении )

Сила трения определяется из уравнения (10.8). Вращаясь по инерции, маховое колесо поднимает груз на высоту h₂ < h₁. Тогда по уравнению (10.8)

. (10.12)

Складывая (10.11) и (10.12), получаем

 

. (10.13)

Откуда сила трения

. (10.14)

Считая движение груза равноускоренным, его скорость в нижней точке

 

, (10.15)

где t – время опускания груза.

Предполагая, что нить сматывается со шкива без проскальзывания, для угловой скорости в момент времени t получаем

 

, (10.16)

где r – радиус шкива.

Подставляя формулы (10.14) – (10.16) в уравнение (10.11), получаем формулу для определения момента инерции:

 

. (10.17)

 

Описание установки

В рассматриваемом случае (см. рис. 10.2) на механическую систему «груз + маховик» действуют внешние консервативные силы тяжести груза 5 и реакции опор 3 и 4, неконсервативные силы тяжести и реакции опор, а также неконсервативные силы сопротивления воздуха и трения F_тр в опорных стойках 4 и 5 махового колеса 2. Экспериментальная установка (рис. 10.3) состоит из махового колеса 2, установленного в опорах 3 и 4. На валу махового колеса закреплён шкив 1. К шкиву гибкой нерастяжимой нитью прикреплён груз 5 переменной массы. Грузы 5 могут перемещаться на высоту h₁ до нижней точки подвеса и, за счёт инерции маховика, подниматься на высоту h₂. Время движения груза 5 от верхней точки до нижнего положения определяется секундомером.

 

Рис. 10.3. Общий вид лабораторной установки:

1 – маховое колесо: 2 – шкив (катушка); 3 – нить;

4 – противовес; 5 – заменяемые (переменные) массы;

6 – добавочные переменные массы; 7 – платформа

с опорами

 

 

Подготовка к проведению работы

 

1. Проработать тему по учебнику С.М. Тарга «Краткий курс теоретической механики» М., 1995.

2. Проработать методические указания к лабораторной работе.

3. Подготовить расчётные формулы и таблицы для записи вычислений.

4. Ответить на контрольные вопросы.

 

Порядок выполнения работы

 

1. Внести в табл. 10.1 массы подвешиваемых грузов m₁. (Массы выбиты на телах).

2. Измерить радиус r шкива 1 c помощью штангенциркуля. Результат внести в табл. 10.1

 

3. Намотать на шкив 1 нить с прикреплённым к его свободному концу грузом 5 (часть гантели, масса которой выбита на ней). Высоту h₁ отсчитывать от самого низкого положения, на которое будет опускаться груз 5. Значение высоты h₁ внести в табл. 10.1.

4. Определить по секундомеру время t движения груза от верхней точки до нижнего положения (высота h₁). Результаты внести в табл. 10.1.

5. Определить высоту h₂, на которую поднимется груз 5 за счёт инерции маховика. Результаты внести в табл. 10.1.

6. По формуле (10.17) рассчитать момент инерции махового колеса. Результат внести в табл. 10.1.

7. Повторить пп. 3 – 6 для грузов массой m ₂ и m ₃, кг. Результаты внести в табл. 10.1.

 

Таблица 10.1

Результаты измерений

Масса груза m, кг	m1=	m 2=	m 3=
Радиус шкива r, м
Высота h1, м
Время движения груза t, с
Высота подъёма груза h2, м
Момент инерции маховика , кг/м2

Обработка результатов

 

1. Вычислить сумму моментов инерции для трёх измерений по формуле

,

результат внести в табл. 10.2.

2. Определить среднее арифметическое значение момента инерции маховика по формуле

,

результат внести в табл. 10.2.

3. Вычислить отклонения отдельных измерений для каждого значения момента инерции от среднего арифметического по формуле

,

результат внести в табл. 10.2.

4. Отклонения возвести в квадрат , определить сумму и

результаты внести в табл. 10.2.

5. Определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение серии измерений для момента инерции по формулам

 

; ,

результаты внести в табл. 10.2.

6. Определить коэффициент вариации для момента инерции

 

и результат внести в табл. 10.2

7. Вычислить доверительный интервал средних значений измерений для среднего значения момента инерции при доверительной вероятности 0,9, выбрав критерий Стьюдента из табл. 3.1 для числа степеней свободы k = m - 1

 

и результат записать в табл. 10.2.

8. Записать достоверное значение момента инерции и результат внести в табл.10.2 с указанием размерности

Таблица 10.2

 

Вычисляемые величины	Результаты вычислений

 

Контрольные вопросы

1. Приведите определение момента инерции твёрдого тела.

2. Как определить момент инерции твёрдого тела, если известны плотность материала и объём тела?

3. Дайте определение консервативных и неконсервативных сил механической системы.

4. Как определить изменение механической энергии системы в процессе её движения?

5. Как определить потенциальную энергию тела на небольших высотах от поверхности Земли?

6. Запишите уравнение работы внешних сил механической системы во внешнем силовом поле и объясните входящие в него величины.

7. Запишите уравнение полной механической энергии системы в процессе её плоского движения и объясните входящие в него величины.

8. Как определить изменение полной механической энергии системы при её плоском движении?

9. Запишите уравнение скорости опускающегося тела в его нижней точке.

10. Приведите формулу определения момента инерции твёрдого тела в данной работе и объясните входящие в него величины.

Лабораторная работа № 11