Абсолютная и относительная погрешность

На практике обычно неизвестно точное значение приближённого числа и его погрешность. В таких случаях всегда можно указать величину предельной

 

абсолютной погрешности ∆ а представляющее положительное число, для которого выполняется неравенство

или ,

где z – точное значение числа;

a – приближённое значение числа z.

 

Предельная абсолютная погрешность для приближённых чисел принимается равной половине единицы последнего выписанного разряда

,

где n – число разрядов после запятой.

 

Пример

Число 2,1135 имеет предельную абсолютную погрешность

 

или

z = 2,1135 0,0005.

Относительная погрешность числа a, имеющего m верных значащих цифр, определяется выражением

 

где К – первая значащая цифра числа a.

 

Пример

Относительная погрешность числа a = 2,48 будет иметь предельное значение

или

 

Погрешность результата любого арифметического действия над приближёнными числами выражается через погрешности исходных данных на основе теории вычисления погрешности функции.

 

Массовые вычисления

При массовых вычислениях, когда не учитываются погрешности каждого отдельного результата, следует пользоваться следующими правилами, обеспечивающими получение окончательного результата со всеми верными знаками.

1. При сложении и вычитании приближённых чисел окончательный результат нужно округлять до наименьшего числа десятичных знаков, которое имеется в исходных данных. Числа, содержащие большее количество десятичных знаков, предварительно округляют, сохранив один лишний десятичный знак по отношению к числу с наименьшим количеством десятичных знаков.

 

Пример

Найти сумму 28,4 + 32,844 + 0,452 + 2,786. Так как первое слагаемое имеет только десятые, то округляем остальные слагаемые до сотых долей. После сложения округляем окончательную сумму до десятых долей.

28,4 + 32,84 + 0,45 + 2,79 = 64,48 64,5.

2. При умножении и делении чисел необходимо предварительно их округлить, сохранив одну лишнюю значащую цифру по отношению к числу с наименьшим количеством значащих цифр. В окончательном результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое число с наименьшим количеством значащих цифр.

 

Пример

Найти произведение чисел 1,4 2,614 7,1956.

Предварительно округляем все числа до сотых долей, После перемножения округляем произведение до десятых долей

1,4 2,61 7,20 = 26,309 26,3.

3. При возведении в квадрат или куб в окончательном результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближённое число.

 

Пример

Возвести в квадрат число 4,43.

Получим

4,43² = 19,6249 19,62.

 

4. При извлечении квадратного или кубического корней в окончательном результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в приближённом подкоренном числе.

 

Пример

Извлечём квадратный корень из числа 4,33 10^-6.

Получим

4,33 10^-6 = 2,082 10^-3 2,08 10^-3.

5. При вычислении сложных выражений следует пользоваться правилами 1…4 в соответствии с видом выполняемых операций. Во всех

 

 

промежуточных результатах нужно сохранять одну лишнюю цифру, которая в окончательном результате округляется.

 

Пример

Найти числовое значение выражения

.

В выражении число 2,4 имеет наименьшее количество значащих цифр, поэтому все промежуточные результаты вычислений должны округляться до трёх значащих цифр. Окончательный результат округляется до двух значащих цифр.

Получим