Построение перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданною точку

Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. При построении перпендикуляра в качестве таких двух пересекающихся прямых плоскости используются линии уровня плоскости (фронтали и горизонтали). Это связано с тем, что согласно теоремы о проецировании прямого угла, именно с этими прямыми сохраняется прямой угол на плоскостях проекциях.

Пример построения перпендикуляра к плоскости, проходящего через заданною точку (рис. 59).

 

Рис. 59

Постановка задачи. Задана плоскость α треугольником ∆ АВС и точка К. Построить перпендикуляр т к плоскости α, проходящей через точку К. Координаты точек: А (75; 50; 20), В (30; 10; 55), С (5; 30;10) и К (45; 5; 10).

Решение.

1. В плоскости α проводится горизонталь h: h Ì α и h‖π₁.

2. Используя теорему о прямом угле строится первая проекция перпендикуляра m: m₁ ⊥ h₁ и К₁ ⊂ m₁.

3. В плоскости α проводится фронталь f: f Ì α и f‖π₂.

4. Используя теорему о прямом угле строится вторая проекция перпендикуляра m: m₂ ⊥ f₂ и К₂ ⊂ m₂.

Варианты заданий приведены в табл. 9.

Построение прямой параллельной заданной плоскости

Известно, что если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Построение прямой параллельно заданной плоскости основывается на использовании этого утверждения и инварианта параллельности прямых.

Пример построения (рис. 60).

Постановка задачи. Задана плоскость α треугольником ∆ АВС и точка М не принадлежащая этой плоскости. Координаты точек: А (75; 50; 20); В (30; 10; 55); С (5; 30;10) и М (45; 30; 30).

Построить прямую l параллельную плоскости α, проходящую через точку М.

Рис. 60

Решение.

1. В заданной плоскости α выбирают или строят прямую, которая принадлежит этой плоскости (в примере выбрана сторона АС треугольника ∆ АВС).

2. Используя инвариант параллельности прямых через проекции точки M проводят проекции искомой прямой l: М₁ ⊂ l₁ и l₁ ∥ A₁C₁; М₁ ⊂ l₁ и l₁ ∥ A₁C₁.

Варианты заданий приведены в табл. 9.

 

Таблица 9

Исходные данные по темам «Перпендикулярность и параллельность прямой и плоскости»

 

Вариант

Численные значения координат точек

А

В

С

К

М

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

 

 

 

продолжение табл. 9

Вариант

Численные значения координат точек

А

В

С

К

М

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z