Уравнения состояния в нормальной и канонической формах, схемы моделирования (в режиме Simulink), виды переходного процесса.

Кроме входных и выходных переменных при описании систем выделяют переменные x, связанные с внутренней структурой устройства – переменные состояния. Тогда систему можно описать с помощью уравнений состояния.

Нормальная форма уравнений состояния имеет вид:

(1.2)

Здесь А – квадратная матрица определенного вида, размер которой определяется порядком дифференциального уравнения. Элементы, стоящие над главной диагональю – единицы, элементы нижней строки – коэффициенты левой части дифференциального уравнения, взятые с противоположным знаком. Все остальные элементы – нули. Такая матрица называется матрицей Фробениуса.

Чтобы перейти от передаточной функции к дифференциальному уравнению системы, нужно перейти из области изображений по Лапласу во временную область:

Для перехода во временную область воспользуемся формальными
правилами:

Тогда дифференциальное уравнение системы имеет вид:

 

 

y΄΄΄(t)+16y΄΄(t)+81y΄(t)+126y(t)=1260u΄΄ (t)+2520΄u(t)

где и – коэффициенты уравнения.

 

A =

 

Элементы матриц B и D вычисляются по следующим рекуррентным соотношениям: ,

B = ,

Подставив рассчитанные матрицы в систему (1.2), получим

 

 

Скалярная форма уравнений состояния:

 

 

Рис 1.7 – Схема моделирования системы для нормальной формы в режиме Simulink Рисунок 1.8 – Вид переходного процесса

Запишем уравнения состояния в канонической форме. Для этого введем новую переменную состояния q, которая связана с переменной состояния x следующим образом: х = М*q. М – это модальная матрица, которая имеет вид

 

M =

где l_i – характеристические числа матрицы Фробениуса А.

При подстановке q вместо x в присоединенную каноническую форму уравнений состояния (1.2), то после преобразований получим уравнения состояния системы в модальной канонической форме:

(1.3)

Здесь L – диагональная матрица:

 

L =

 

где M^-1 – матрица, обратная модальной.

,

где AdjM– матрица, присоединённая к M, т. е. транспонированная матрица алгебраических дополнений.

 

 

.

Подставив найденные значения в (1.3), получим:

Скалярная форма уравнений состояния:

 

 

 

Рисунок 1.9 - Схема моделирования системы для канонической формы в режиме Simulink

!!!!

 

Рисунок 1.10 – Вид переходного процесса

 

Уравнения состояния в ss-форме составим по матрицам, полученным в пакете MATLAB:

,

, ;

 

Подставим полученные матрицы в систему уравнений (1.2):

 

Скалярная форма уравнений состояния системы:

Рис 1.11 – Схема моделирования системы для нормальной формы в режиме Simulink

 

Рисунок 1.12 – Вид переходного процесса

 

Графики на выходе трех схемах моделей, соответствующих уравнениям состояния в нормальной, канонической и ss формах, совпадают с графиком переходной функции, построенной в MATLAB, следовательно, схемы построены верно.