Tf-, zpk-, ss- формы для заданной передаточной функции

Глава 1

Математическое описание линейных систем

Tf-, zpk-, ss- формы для заданной передаточной функции

tf – полиномиальная форма, в которой передаточная функция задается двумя векторами-строками, составленными из коэффициентов многочленов числителя и знаменателя в порядке убывания степеней S.

Результаты в MATLAB:

>> W= tf ([1260 2520 0], [1 16 81 126]);

Transfer function:

 

12620s^2+2520s

---------------------------------

s^3 + 16s^2 + 81s + 26

zpk - форма нулей, полюсов и коэффициента усиления, в которой полиномы записаны через нули числителя – zi и полюса знаменателя pj.

Результаты в MAT-LAB:

 

>>zpk(W)

Zero/pole/gain:

 

1260 s (s+2)

----------------------

(s+7) (s+6) (s+3)

ss - форма представляет передаточную функцию в параметрах пространства состояний. Система n -го порядка с одним входом и одним выходом в параметрах пространства состояний описывается системой уравнений:

 

 

где А - матрица коэффициентов обратных связей, охватывающих все n интеграторов; B - матрица коэффициентов связей входов всех интеграторов с входом модели; C - матрица коэффициентов связей выходов всех интеграторов с выходом модели; D - матрица коэффициентов связей входов и выходов модели напрямую, минуя интеграторы.

 

Результаты в MATLAB:

>>ss(W)

a =

x1 x2 x3

x1 -16 -10.13 -3.938

x2 8 0 0

x3 0 4 0

b =

u1

x1 32

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 39.38 9.844 0

 

d =

u1

y1 0

Временные характеристики системы в пакете MATLAB

h(t)

h(t ) >> step(W)

 

 

t

Рисунок 1.1 – Переходная характеристика h(t)

w(t)

>>impulse(W)

Impulse Response

t

 

 

Рисунок 1.2 – Импульсная переходная характеристика w(t)

 

Значения выходных сигналов временных характеристик становятся равными коэффициенту усиления . Полученные графики подтверждают расчетные данные.

 

Частотные характеристики в пакете MATLAB

>>bode(W)

ω )

L(ω) )

Рисунок 1.5 – ЛАЧХ и ЛФЧХ системы

Асимптотические ЛАЧХ и ЛФЧХ приведенные в приложении 1 совпадают с характеристиками построенными в пакете MATLAB. Следовательно, частотные характеристики построены верно.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) — удобное представление частотного отклика линейной стационарной динамической системы в виде графика в комплексных координатах. На таком графике частота выступает в качестве параметра кривой, фаза и амплитуда системы на заданной частоте представляется углом и длиной радиус-вектора каждой точки характеристики.

 

>> nyquist(W)

P(ω)

Q(ω)

Рисунок 1.6 – АФЧХ системы

 

Глава 1

Математическое описание линейных систем

tf-, zpk-, ss- формы для заданной передаточной функции

tf – полиномиальная форма, в которой передаточная функция задается двумя векторами-строками, составленными из коэффициентов многочленов числителя и знаменателя в порядке убывания степеней S.

Результаты в MATLAB:

>> W= tf ([1260 2520 0], [1 16 81 126]);

Transfer function:

 

12620s^2+2520s

---------------------------------

s^3 + 16s^2 + 81s + 26

zpk - форма нулей, полюсов и коэффициента усиления, в которой полиномы записаны через нули числителя – zi и полюса знаменателя pj.

Результаты в MAT-LAB:

 

>>zpk(W)

Zero/pole/gain:

 

1260 s (s+2)

----------------------

(s+7) (s+6) (s+3)

ss - форма представляет передаточную функцию в параметрах пространства состояний. Система n -го порядка с одним входом и одним выходом в параметрах пространства состояний описывается системой уравнений:

 

 

где А - матрица коэффициентов обратных связей, охватывающих все n интеграторов; B - матрица коэффициентов связей входов всех интеграторов с входом модели; C - матрица коэффициентов связей выходов всех интеграторов с выходом модели; D - матрица коэффициентов связей входов и выходов модели напрямую, минуя интеграторы.

 

Результаты в MATLAB:

>>ss(W)

a =

x1 x2 x3

x1 -16 -10.13 -3.938

x2 8 0 0

x3 0 4 0

b =

u1

x1 32

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 39.38 9.844 0

 

d =

u1

y1 0