Распределение случайных ошибок измерения

Вероятностная модель. Случайные ошибки измерения характеризуются определенным законом их распределения.

Существование такого закона можно обнаружить, повторяя много раз в неизменных условиях измерения некоторой величины и подсчитывая число m тех результатов измерения, которые попадают в любой выделенный интервал. Отношение этого числа к общему числу n произведенных измерений (относительная частота попадания в отмеченный интервал) при достаточно большом числе измерений оказываются близким к постоянному числу (разумеется, своему для каждого интервала).

Это обстоятельство позволяет применять к изучению случайных ошибок измерения методы теории вероятностей. В теоретико-вероятностной модели случайные ошибки z = x - a (а значит, и сами результаты измерения x = a + z) рассматриваются как случайные величины, которые могут принимать любые действительные значения, причем каждому интервалу соответствует вполне определенное число, называемое вероятностью попадания случайной величины «Z» в этот интервал и обозначаемое через .

Эта вероятность выступает как идеализированная относительная частота попадания в интервал , т.е. на практике именно к этой вероятности близки упомянутые выше относительные частоты .

Правило, позволяющее для любых интервалов находить вероятность , называется законом распределения вероятностной случайной величины Z.

Закон распределения можно записать с помощью интеграла

,

где p(z) - некоторая неотрицательная функция, нормированная условием

;

эта функция полностью определяет соответствующий закон распределения вероятностей и называется плотностью распределения.

Если имеется случайная величина Х с математическим ожиданием М и стандартным отклонением , то случайная величина Z–оценка является стандартной случайной величиной.

Z = (Х - М) /

В метрологии в качестве точности наиболее часто рассматриваются следующие характеристики рассеивания: 1 - среднее квадратическое или квадратичное отклонение ; 2 -вероятная или срединная погрешность (ошибка); 3 - Е – погрешность, вероятность быть больше или меньше которой одинакова и равна 0,5.

Например, при нормальном распределении Х этот показатель точности равен интервалу, границы которого находятся на расстоянии 0,675 σ от математического ожидания; максимальная погрешность – погрешность, вероятность превзойти которую по абсолютной величине представляет событие малодостоверное.

Например, при нормальном распределении эта вероятность очень часто берется равной 0,0027, что соответствует вероятности попадания Х за пределы интервала, границы которого находятся на расстоянии 3 σ от математического ожидания.

С помощью любой из этих характеристик можно судить о точности результата измерения (рассеивании или области неопределенности).

На рис. 3.1 приведен график плотности нормального распределения Х с нанесенными на нем значениями указанных величин.

Рис. 3.1. Показатели точности измеряемой случайной величины,

распределенной по нормальному закону (U=Z)