П.2. Математический маятник.

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити).

Рассмотрим условия, при которых колебания маятника являются гармоническими.

Отклонения маятника от положения равновесия будем характеризовать углом α, образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от вертикали возникает вращающий момент, модуль которого = mgl·sinα. Он имеет такое направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и в этом отношении он аналогичен квазиупругой силе. Поэтому можно записать:

M= − mgl·sinα.

Уравнение динамики вращательного движения для маятника:

M = J·ε,

где J = ml² – момент инерции маятника, – угловое ускорение.

Тогда

Рассмотрим колебания с малой амплитудой, т.е. sin α ≈ α, и введем обозначение:

Тогда получим уравнение движения маятника:

- это уравнение динамики гармонических колебаний.

Решение этого уравнения имеет вид

Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется во времени по гармоническому закону.

Циклическая частота колебаний

Т.е. период Т зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения.

П.3. Физический маятник.

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С.

При отклонении этого тела от положения равновесия на угол α также возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:

M= − mgl·sinα,

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника С.

Обозначим через J момент инерции маятника:

Его решение имеет вид: , где

Из формулы следует, что физический маятник при малых отклонениях также совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы и момента инерции маятника.

Аналогично периоду математического маятника получим:

Величину момента инерции J иногда бывает трудно вычислить.

Сопоставляя и получим, что физический маятник с длиной будет иметь такой же период колебаний, как и математический:

где – приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Точка O' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки подвеса О на расстоянии приведенной длины , называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим:

т.е. всегда больше . Точки О и О' всегда будут лежать по обе стороны от точки С.

Точка подвеса О маятника и центр качаний O' обладают свойством взаимозаменяемости: если маятник перевернуть и подвесить за точку О', то прежняя точка О станет центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника. Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника. Перемещением грузов добиваются того, что расстояние между точками подвеса будет соответствовать . Тогда, измерив период Т и , легко рассчитать g по .