Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

Понятие о колебаниях.

Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

Гармонические осцилляторы.

Сложение гармонических колебаний.

Влияние внешних сил на колебательные процессы.

Понятие о колебаниях.

П.1. Основные понятия.

Колебания — процессы, обладающие повторяемостью.

Пример:

Тело на пружине; тело в поле силы тяжести; тело в потоке жидкости или газа.

Период – время одного полного колебания.

Периодические колебания — если система приходит в исходное состояние или подобное ему через равные промежутки времени. Эти промежутки времени называются периодами: [ Т ] = с.

Частота колебаний определяет число полных колебаний в единицу времени:

[ ] = c^-1 = Гц

Амплитуда колебаний — максимальное отклонение колебательной системы от положения равновесия: [ A ] = м.

В общем случае физическая величина x с течением времени изменяется по какому-либо закону x(t), если она изменяется по закону sin или cos, то такие колебания называются – гармоническими колебаниями.

Закон гармонических колебаний:

где x(t) — смещение системы от положения равновесия в момент времени t;

ω — циклическая частота колебаний;

φ₀ — начальная фаза колебаний;

φ(t) = (φt + φ₀) — фаза колебаний.

Гармонические колебания являются периодическими.

x(t+T) = x(t)

x(t+T) = Acos(ω(t+T)) + φ₀) = Acos(ωt + φ₀)

ωT = 2π => .

График гармонического колебания:

П.2. Скорость и ускорения при колебаниях.

при .

Скорость также изменяется по гармоническому закону и отстаёт от координат по фазе на .

при .

Ускорение отстаёт от координаты при колебаниях по фазе на π.

 

П.3. Энергия гармонических колебаний.

Вычислим энергию тела массой m, совершающего гармонические колебания с амплитудой А и круговой частотой ω:

Потенциальная энергия П тела, смещенного на расстояние х от положения равновесия, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила F_x = − kx, перемещая тело в положение равновесия.

Кинетическая энергия К

сложив почленно оба уравнения, получим выражение для полной энергии:

Т.о. полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

 

Гармонические осцилляторы.

П.1. Пружинный маятник.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = − kx.

Уравнение движения маятника:

Решением этого уравнения всегда будет выражение вида: .

П.3. Физический маятник.

Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С.

При отклонении этого тела от положения равновесия на угол α также возникает вращающий момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия:

M= − mgl·sinα,

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника С.

Обозначим через J момент инерции маятника:

Его решение имеет вид: , где

Из формулы следует, что физический маятник при малых отклонениях также совершает гармонические колебания, частота которых зависит от массы и момента инерции маятника.

Аналогично периоду математического маятника получим:

Величину момента инерции J иногда бывает трудно вычислить.

Сопоставляя и получим, что физический маятник с длиной будет иметь такой же период колебаний, как и математический:

где – приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Точка O' на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки подвеса О на расстоянии приведенной длины , называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим:

т.е. всегда больше . Точки О и О' всегда будут лежать по обе стороны от точки С.

Точка подвеса О маятника и центр качаний O' обладают свойством взаимозаменяемости: если маятник перевернуть и подвесить за точку О', то прежняя точка О станет центром качаний и период колебаний физического маятника не изменится.

На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника. Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника. Перемещением грузов добиваются того, что расстояние между точками подвеса будет соответствовать . Тогда, измерив период Т и , легко рассчитать g по .

Понятие о колебаниях.

Основное уравнение динамики гармонических колебаний.

Гармонические осцилляторы.