Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.

Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a;b] и непрерывна на нем, где a < b,

численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).

Рисунок. 3

Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Рисунок. 4

Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

и т.д.

(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса).

 

Методы интегрирования определенных интегралов заменой переменной и по частым.

Метод замены переменной в определенном интеграле

Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывна на , причем , и для всех выполняется . Тогда

.

 

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение.

Обозначим , тогда , . Подставим старые пределы интегрирования в формулу , получим новые пределы интегрирования , . Следовательно,

2. Метод интегрирования по частям

Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример.

 

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

При построении определенного интеграла предполагалось, что выполняется два условия:

пределы интегрирования и конечны;

подынтегральная функция ограничена на отрезке интегрирования .

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от неограниченных функций называются несобственными интегралами.

 

Пусть определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке , где .

 

Несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования (интегралом 1-го рода) называется предел интеграла при :

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует или равен , то расходящимся.

Пусть - первообразная функция для на промежутке . Тогда можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

.

Обозначая , формулу можно записать так:

.

Пример 7. .

Данный интеграл является сходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от дает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией , слева , снизу осью ОХ. Если интеграл сходится – площадь конечна, а если расходится – площадь бесконечна.

 

0

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом:

и несобственный интеграл с обоими бесконечными пределами:

.

Пример 8.

Данный интеграл является сходящимся.