Линейные, билинейные и квадратичные функции в линейном пространстве.

8.1. Линейная функция в линейном пространстве и ее представление в заданном базисе.

8.2. Билинейная функция в линейном пространстве и соответствующая ей билинейная форма в заданном базисе. Векторно-матричная запись билинейной формы. Матрица билинейной формы, закон ее изменения при переходе к новому базису и инвариантность ранга этой матрицы.

8.3. Квадратичная функция в линейном пространстве. Симметричные билинейные функции и соответствующие им квадратичные функции. Квадратичные функции и соответствующие им квадратичные формы. Матрица квадратичной формы и закон ее изменения при переходе к новому базису.

Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

9.1. Канонический и нормальный вид квадратичной формы.

9.2. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому и нормальному виду.

9.3. Положительный и отрицательный индексы, ранг квадратичной формы. Закон инерции. Три инварианта квадратичной формы.

Знакопеременные, знакопостоянные и знакоопределенные квадратичные формы.

10.1. Знакопеременные, знакопостоянные квадратичные формы (определения, примеры). Их канонический и нормальный вид, индексы и ранг.

10.2. Знакоопределенные (положительно и отрицательно определенные) квадратичные формы. Их канонический и нормальный вид. Индексы и ранг знакоопределенной формы.

10.3. Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

Евклидово пространство.

11.1. Определение евклидова пространства. Евклидово скалярное произведение. Примеры евклидовых пространств.

11.2. Неравенство Коши-Буняковского.

11.3. Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве.

11.4. Неравенство треугольника.

Матрица Грама.

12.1. Координатная и векторно-матричная запись скалярного произведения в заданном базисе. Матрица Грама и ее свойства. Примеры матриц Грама.

12.2. Преобразование матрицы Грама при переходе к новому базису.

12.3. Нахождение матрицы Грама скалярного произведения в базисе пространства геометрических векторов в случае, когда скалярное произведение в каноническом (ортонормированном) базисе этого пространства задается стандартным образом.

Ортонормированный базис.

13.1. Ортогональная система векторов, ее линейная независимость.

13.2. Ортогональный и ортонормированный базисы. Матрица Грама, запись скалярного произведения векторов и длин векторов в этих базисах. Теорема Пифагора в произвольном и ортонормированном базисах евклидова пространства.

13.3. Метод ортогонализации базиса.

Ортогональные операторы в евклидовом пространстве.

14.1. Ортогональные матрицы и их свойства.

14.2. Ортогональный оператор и его свойства.

14.3. Связь ортогональных операторов с ортогональными матрицами.