Уравнение плоскости и прямой в пространстве

Поверхности второго порядка

9.1.Основные термины, формулы, положения

Различные уравнения плоскости: уравнение плоскости, заданной тремя точками; уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали; общее уравнение плоскости.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве; условие параллельности плоскостей; условие перпендикулярности плоскостей.

Уравнения прямой в пространстве: уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором; уравнение прямой, заданной двумя точками; параметрическое уравнение прямой.

Понятие о поверхности второго порядка. Некоторые виды поверхностей второго порядка.

9.2. Типовые задания по теме

1. Используя общее уравнение плоскости, рассмотреть частные случаи расположения плоскости относительно: 1) осей координат; 2) координатных плоскостей; 3) начала координат.

2. Составить уравнение плоскости:

1) проходящей через точки А(3; -3; 0), В(-2; 0; 4), С(1; 3; 2);

2) проходящей через точку М(7; 3; 5) перпендикулярно вектору ;

3) проходящей через точку М(2;0;-1) параллельно плоскости ;

г) проходящей через точку М (2; 5; 4) и отсекающей равные ненулевые отрезки от осей координат;

д) проходящей через точку М(1; -2; 3) и ось OZ.

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; -2; 3):

1) перпендикулярно вектору ;

2) параллельно плоскости ;

3) проходящей через точку М (0; 2; 5) параллельно оси OY.

4. Из точки А(2; 3; -5) на координатные оси опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящей через их основания.

5. Определить расстояние от точки, симметричной точке М(3; 5; 8) относительно плоскости OXY, до плоскости .

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 2; -1) и пересекающую ось ОХ под прямым углом.

7. Две вершины параллелограмма АВСД заданы координатами: С(-2; 3; -5) и Д (0; 4; -7). Точка М (1; 2; -3,5) –точка пересечения диагоналей параллелограмма. Найти уравнение стороны АВ.

8. Написать каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку :

1) параллельно прямой ;

2) перпендикулярно прямой .

9. Даны точки А (1; 1; 1), В (2; 3; 3) и С(3; 3; 2). Составить уравнения прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной векторам и .

10. Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Найти:

а) длину ребер и ;

б) уравнение прямой, содержащей сторону ;

в) уравнение плоскости и площадь грани ;

г) объем данной пирамиды.

11. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость .

12. Найти координаты центра и радиус сферы .

13. Составить уравнение сферы, проходящей через точки , , , если ее центр лежит в плоскости XOY.

14. Составить уравнение сферы, если точки и являются концами одного из ее диаметров.

15. Составить уравнение окружности, образующейся в сечении сферы координатной плоскостью .

16. Найти координаты центра и радиус окружности, образующейся при пересечении сферы и плоскости .

17. Используя метод сечений, построить поверхность:

1) ; 2) .

18. Установить, какие поверхности определяются уравнением:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

III. Примерные варианты контрольных работ

Контрольная работа №1.

№1. Дана матрица коэффициентов прямых затрат . Найти вектор совокупного продукта X для обеспечения выпуска конечной продукции .

№2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

.

№3. Решить систему линейных уравнений в матричной форме:

.

№4. Найти фундаментальный набор решений системы однородных линейных уравнений: .

№5. Вычислить определители: а) б)* (порядок –n)

Контрольная работа №2

№1. Записать уравнения прямых, каждая из которых проходит через один из фокусов эллипса и при этом: а) параллельна прямой ; б) перпендикулярна прямой .

№2. Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄: А₁ (2; 4; 3), A₂(7; 6; 3), A₃(4; 9; 3), A₄ (3; 6; 7). Найти: а) косинус угла между ребрами А₂А₃ и А₁А₃; б) уравнение прямой А₁А₄; в) уравнение плоскости, содержащей грань А₁А₂А₄; г) высоту пирамиды, опущенную на грань А₁А₂А₄; д) объем данной пирамиды.

№3. Найти собственные векторы и собственные значения линейного отображения, заданного матрицей . Найти образы векторов и в данном отображении, если векторы заданы координатами в том же базисе, что и матрица линейного отображения.

№4. В декартовой системе координат изобразить область допустимых решений для задачи линейного программирования. Для изготовления изделий двух видов имеется 100 кг металла. На изготовление одного изделия 1-го вида расходуется 2 кг металла, а изделия 2-го вида - 4 кг. Составить план производства, обеспечивающий получение наибольшей прибыли от продажи изделий, если отпускная стоимость одного изделия 1-го вида составляет 3 ден. ед., а изделия 2-го вида – 2 ден.ед., причем изделий 1-го вида требуется изготовить не более 40 единиц, а изделий 2-го вида – не более 20 единиц.

IV. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

В тестовых заданиях выберите все верные ответы из предлагаемых вариантов.

1. Алгебраическое дополнение элемента в определителе 4 порядка имеет вид:

А) (-1)⁴ ;

Б) (-1)⁴ ;

В) (-1)⁴ ;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

2. Определитель произвольного порядка равен 0, если:

А) строки определителя линейно зависимы;

Б) столбцы определителя линейной независимы;

В) определитель имеет пропорциональные строки;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

3. Из данных систем уравнений единственное решение имеется у системы…:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) среди данных нет систем с единственным решением.

4. Пусть r - ранг совместной системы m линейных уравнений с n переменными, тогда число свободных переменных в записи общего решения системы равно:

А) m-n;

Б) r;

В) n-r;

Г) среди выражений А) - В) нет правильного ответа.

5. Что произойдет с рангом системы векторов, если к ней добавить нулевой вектор?

А) ранг уменьшится на 1;

Б) ранг не изменится;

В) ранг увеличится на 1;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

6. Система арифметических векторов (3, 1, 1, 5) и (1, 2, 3, 4) образует фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений. Тогда решением данной системы является вектор:

А) (2, -1, -2, 4);

Б) (3, -4, -7, -2);

В) (4, -2, -4, 2);

Г) ни один из этих векторов не может служить решением данной системы.

7. Размерность произведения АВ для матриц А= и В = равна:

А) 2 строки, 3 столбца;

Б) 2 строки, 2 столбца;

В) 1 строка, 1 столбец;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

8. Пусть А – матрица совместной системы n линейных уравнений с n неизвестными, В – матрица-столбец из свободных членов данной системы, Х - матрица-столбец из неизвестных системы. Тогда верным будет равенство:

А) ВА = Х;

Б) В = АХ;

В) Х = А^-1 В;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

9. Для арифметического пространства верно утверждение:

А) в существует линейно-независимая система из (n+1)-го вектора;

Б) всякий базис пространства состоит из n векторов;

В) любая система из n векторов пространства линейно независима;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

10. Угловой коэффициент k и ордината b точки пересечения с осью OY для прямой равны:

А) b = 6, k = 2;

Б) b = 3, k = 0,5;

В) b = -3, k = -0,5;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

11. Для прямой параллельной прямой является прямая…:

А) ;

Б) ;

В) ;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов/

12. Уравнение с двумя переменными определяет на плоскости OXY…

А) параболу;

Б) эллипс;

Г) окружность;

Д) гиперболу.

13. Расстояние от точки М(0;4; -1) до плоскости равно:

А) 2; Б) 7/2; В) ; Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

14. Собственные значения линейного отображения с матрицей равны:

А) 1 и 2;

Б) 1, 0 и 3;

В) 0 и 3;

Г) в пунктах А) - В) нет правильных ответов.

V. Программа экзамена (зачета)

1. Матрицы. Операции над матрицами: определения и свойства.

2. Определитель n-го порядка. Разложение определителя по элементам строки (столбца). Свойства определителей.

3. Обратная матрица: определение, условия существования. Формула обратной матрицы. Единственность обратной матрицы.

4. Системы линейных уравнений (СЛУ): основные понятия. Теорема Крамера.

5. Решение СЛУ в матричной форме.

6. Равносильные СЛУ. Решение СЛУ методом Гаусса.

7. Определение, примеры, простейшие свойства векторных пространств.

8. Арифметическое n-мерное векторное пространство .

9. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости.

10. Базис и ранг системы векторов. Конечномерные векторные пространства. Свойства базиса конечномерных пространств.

11. Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

12. Критерий совместности СЛУ.

13. Системы линейных однородных уравнений. Свойства решений системы однородных линейных уравнений. Фундаментальный набор решений однородной системы.

14. Матрица перехода от базиса к базису векторного пространства. Координаты вектора в различных базисах.

15. Линейные отображения векторных пространств. Матрица линейного отображения.

16. Собственные векторы и собственные значения линейного отображения.

17. Евклидовы пространства. Ортогональные системы векторов. Ортонормированные базисы.

18. Декартова прямоугольная система координат. Векторы на плоскости и в пространстве, линейные операции над ними. Модуль вектора.

19. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное произведение. Смешанное произведение.

20. Различные уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Типовые задачи.

21. Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение плоскостей. Типовые задачи.

22. Уравнения прямой в пространстве.

23. Кривые второго порядка. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

24. Линейная модель обмена. Модель Леонтьева.

VI. Задачи для подготовки к экзамену (зачету)

1. Решить систему: а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

2. Даны точки и . Найти координаты и длину вектора .

3. При каких значениях и векторы и коллинеарны?

4. Даны векторы и . Вычислить:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

5. Даны вершины , , треугольника . Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины .

6. Компланарны ли векторы , , ?

7. Даны точки . Вычислить объем пирамиды .

8. Составьте уравнения медиан треугольника, вершины которого находятся в точках A (2, 3), B (-3, 5) и C (7, -1).

9. Составить уравнение эллипса, если он проходит через точки М( и N

10. Даны вершины треугольника A(5,6), В(3, 4) и С(9, 1). Найдите центр описанной около него окружности.

11. Даны две смежные вершины параллелограмма А(6, 1), В(4, 3) и точка пересечения его диагоналей М(2, 3). Найдите координаты двух других его вершин.

12. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2, -1) перпендикулярно к прямой .

13. Найдите точки пересечения эллипса и прямой .

14. Исследовать взаимное расположение данных прямых. Для пересекающихся прямых найти угол между ними.

а) ;

б) .

15. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

16. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и .

17. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и .

18. В базисе дан вектор . Найти координаты этого вектора в базисе .

19. Найти собственные значения и собственные векторы линейного отображения пространства L над R, заданного в некотором базисе матрицей . В линейном отображении , считая, что разложение векторов дано в том же базисе, что и матрица А, найти: 1) образ для вектора ; 2) прообраз для вектора

VII. Литература

Основная

1. 1. Высшая математика для экономистов [Текст]: учебник / под peд. Н. Ш. Кремер. - 3-е изд. - Москва: ЮНИТИ, 2010. – 478 с.

Дополнительная

1. Бугров, Я. С.Высшая математика [Текст]. В 3 т. Т. 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. - 8-е изд., стер. - Москва: Дрофа, 2006. - 284 с.

2. Высшая математика для экономистов [Текст]: практикум для студентов вузов, обуч. по экономич. специальностям / под peд. Н. Ш. Кремера. - 2-е изд., перераб. и доп. – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2011. - 477 с.

3. Линейная алгебра. Пределы. Производная [Электронный ресурс]: задания к типовому расчету / ВятГУ, СЭФ, каф. ММЭ; cocт. Л. М. Бучина, И. Г. Лукиных. - Киров, 2010. - 39 с.

4. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст]. Ч. 2. Тридцать пять лекций: учеб. пособие / Д. Т. Письменный. - Москва: Айрис-Пресс. - 2008. - 256 с.

5. Сборник задач по высшей математике для экономистов [Текст]: учеб. пособие / РЭА; под peд. В. И. Ермакова. - 2-е изд., испр. - Москва: ИНФРА-М, 2007. - 575 с.

6. Шатрова, Л. Н. Дидактические материалы по курсу высшей математики [Электронный ресурс]: учебно-метод. пособие для студентов направлений 080500.62, 230700.62, 222000 всех профилей подготовки, всех форм обучения / Л. Н. Шатрова; ВятГУ, ФЭМ, каф. ММЭ. – Киров, 2013. - 25 с.