Наибольшее и наименьшее значения функции

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках и ;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 5.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим критические точки данной функции:

;

при и при . Находим:

; ; ; .

Итак, в точке , в точке .

,

Если промежуток открытый, функция принимает наибольшее и наименьшее значения только в точках экстремума.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики и других дисциплин. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда между a и b находится только одна критическая точка (промежуток может быть и открытым, и бесконечным). Если в этой точке функция имеет максимум (минимум), то в этой точке будет и наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке.

Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенствованию методов отыскания наибольшего и наименьшего значений. Решением таких задач занимается особая ветвь математики – линейное программирование.

Задачи на нахождение максимума или минимума – наибольшего или наименьшего значений – называются экстремальными задачами, которые можно записать в виде формулы:

, .

Пример 5.3. Из шара радиуса R выточить цилиндр наибольшего объема. Каковы его размеры?

Решение. Обозначим через x и y высоту и диаметр цилиндра.

Находим наибольшее значение функции на промежутке .

Так как , то при . Кроме того, . Поэтому – точка максимума. Так как функция имеет одну критическую точку, то цилиндр будет иметь наибольший объем (равный ) при ; диаметр основания цилиндра равен

.

Таким образом, искомый цилиндр имеет высоту, равную , и диаметр, равный .

,

Выпуклость и вогнутость графика функции.

Точки перегиба

Определение 5.2. График дифференцируемой функции называется выпуклым на интервале , если он расположен ниже любой своей касательной, т.е. , и вогнутым, если он расположен выше касательной, т.е. .

Определение 5.3. Точки график, в которых выпуклость сменяется вогнутостью или наоборот, называются точками перегиба графика.

Интервалы выпуклости и вогнутости находятся с помощью следующей теоремы, которую примем без доказательства.

Теорема 5.5. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на , т.е. существует . Тогда если на , то на этом промежутке график вогнутый, если , то график выпуклый.

Сформулируем необходимое и достаточное условие точки перегиба в виде теорем, которые примем без доказательства.

Теорема 5.6 (необходимое условие точки перегиба). Пусть дана функция , дважды дифференцируемая на X. Если в точке график этой функции имеет перегиб и существует конечная вторая производная , то .

Теорема 5.7 (достаточное условие точки перегиба). Если функция дважды непрерывно дифференцируема на X и при переходе через точку производная меняет знак, то точка является точкой перегиба функции .

Пример 5.4. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба, графика функции:

.

Решение. Функция определена на . Находим:

;

.

Из условия имеем: . Критической точкой будет . Исследуем знак второй производной вблизи этой точки.

При , а при . Следовательно, на интервал график выпуклый, на – вогнутый, а в точке имеет перегиб.

,

Асимптоты графика функции

Определение 5.5. Прямая L называется асимптотой кривой, заданной уравнением , если расстояние между точками кривой и прямой стремится к нулю с удалением точки на кривой от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Вертикальная асимптота

Прямая является вертикальной асимптотой, если точка – есть точка разрыва второго рода функции , т.е. если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.