Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле

Цель: Формирование навыков нахождения неопределенных интегралов методами замены переменной и по частям

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Проинтегрировать функцию - значит найти ее неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

В основе интегрирования способом подстановки (или замены переменной) лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если , то , где - произвольная дифференцируемая функция от .

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок следующих двух типов:

1) - где - новая переменная, а - непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной такова:

(14.1)

Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид;

2) , где - новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид

(14.2)

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

, (14.3)

где и - непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью формулы (14.3) отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так, при нахождении интегралов вида

(14.4)

за следует принять многочлен , а за - соответственно выражения , ; при отыскании интегралов вида

(14.5)

за принимаются соответственно функции , , , а за - выражение .

Примеры

Найти интегралы: 1) ; 2) .

Решение: 1) Данный интеграл окажется табличным, если под знаком дифференциала будет находиться аргумент подынтегральной функции . Так как , то . Следовательно, подстановка приводит рассматриваемый интеграл к табличному: . Возвращаясь к старой переменной , окончательно получим .

2) Предполагая , , найдем , . Следовательно, .

Задания для практической работы

1. Найдите интегралы методом непосредственного интегрирования:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

2. Найдите интегралы способом подстановки:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

3. Найдите интегралы при помощи интегрирования по частям:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Контрольные вопросы:

1. Что называется первообразной? Перечислите свойства первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Какие свойства неопределенного интеграла вы знаете?

4. Перечислите основные формулы интегрирования.

5. Какие методы интегрирования вы знаете? В чем заключается их сущность?

Рекомендуемая литература: 11.1 [с. 271-282], 1.2 [с. 205-212], 1.3 [с. 52-62], 2.2 [с. 247-250].

Практическая работа №15