Две пары сил, плоскости действия которых имеют хотя бы одну общую точку, эквивалентны одной паре сил, момент которой равен сумме моментов слагаемых пар.

Доказательство. Если две плоскости имеют общую точку O, то они или пересекаются, или совпадают. Рассмотрим более общий случай пересекающихся плоскостей. Пусть – плоскость действия пары сил ; – плоскость действия пары сил ; – точки приложения сил. Выберем на линии пересечения плоскостей любую точку C (если плоскости действия пар сил совпадают, то C любая точка плоскости). Разложим каждую из четырёх заданных сил на составляющие и , линии действия которых проходят через точки O и C соответственно. Перенося составляющие вдоль их линий действия в точки O и C соответственно, заменим приложенные в точках O и C силы и равнодействующими и (Рис. 1.9).

 

 

Силы и образуют пару сил, поскольку

 

так как

Рис. 1.9

 

Момент пары сил равен сумме моментов слагаемых пар:

 

 

 

так как

Подводя итог, заметим, что на основании результатов, полученных в этой главе, можно

 

1. любую систему сходящихся в некоторой точке сил заменить равнодействующей , приложенной в точке и равной геометрической сумме всех сил системы;

1. систему пар сил, плоскости действия которых имеют хотя бы одну общую точку, можно заменить одной парой сил, момент которой равен сумме моментов всех пар системы.

 

 

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ СТАТИКИ

 

Приведение системы сил к одному центру

 

Одной из основных задач статики является приведение системы сил к простейшему виду, т.е. преобразование заданной системы сил в другую, ей эквивалентную, но содержащую минимальное число сил. Одним из способов решения такой задачи является приведение системы сил к одному центру (метод Пуансо).

 

Теорема.

Произвольная система сил эквивалентна системе, состоящей из одной силы, равной геометрической сумме всех сил системы, приложенной в произвольно выбранной точке (центре приведения), и одной пары сил, момент которой равен сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Рис. 2.1

Доказательство. Пусть задана система сил , произвольным образом расположенных в пространстве (Рис. 2.1). Выберем любую точку в качестве центра приведения. Рассмотрим любую силу системы . На основании аксиомы 2 приложим к точке уравновешенную систему сил , причём, . Таким образом, сила оказывается эквивалентной системе трёх сил, состоящей из такой же по модулю и направлению силы , приложенной в точке , и пары сил , момент которой равен моменту силы относительно точки .

Проделывая такую операцию с каждой силой системы, заменяем заданную систему сил эквивалентной, которая состоит из приложенных в точке сил и пар сил , плоскости действия которых имеют общую точку .

В соответствии с аксиомой 1 система сил эквивалентна одной силе , приложенной в точке и равной геометрической сумме всех заданных сил:

 

.

 

В соответствии с теоремой о сложении пар система пар сил эквивалентна одной паре, момент которой равен сумме моментов слагаемых пар, т.е. сумме моментов всех сил исходной системы относительно точки :

 

.

 

Таким образом, установлены две важнейшие характеристики системы сил:

 

главным вектором системы сил называется геометрическая сумма всех сил системы:

главным моментом системы сил относительно некоторого центра O называется геометрическая сумма моментов всех сил системы относительно точки O:

Вектор главного момента изображают приложенным в той точке , относительно которой он вычисляется.

Заметим, что главный вектор и главный момент системы сил представляют собой чисто геометрические величины и не могут рассматриваться как некоторая сила или момент некоторой силы.

Доказанную выше теорему о приведении системы сил к одному центру теперь можно сформулировать в виде:

 

Произвольная система сил эквивалентна системе, состоящей из одной силы, равной главному вектору системы сил, приложенной в произвольно выбранной точке (центре приведения), и одной пары сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно этой точки.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Что называется парой сил?
2. Что называется моментом пары сил?
3. Как располагается вектор момента пары сил по отношению к паре сил?
4. Чем можно заменить систему пар, плоскости действия которых пересекаются в одной точке?
5. Чем заменяется любая система сил после её приведения к одному центру?
6. Что называется главным вектором системы сил?
7. Что общего и в чём различие между главным вектором и равнодействующей системы сил?
8. Что называется главным моментом системы сил относительно центра?

 

ЛЕКЦИЯ 3