Механический смысл компонент тензора деформаций

 

Выясним сначала механический смысл компоненты .

Рассмотрим малый отрезок, который до деформации был параллелен оси (рисунок 4.3). Обозначим через его длину до деформации, - длину после деформации. Имеем для этого отрезка

, .

Из (4.3) получаем

 

Рисунок 4.3 – Деформация малых отрезков, изначально параллельных координатным осям. Справа – отрезки до деформации, слева – отрезки после деформации

 

Введем понятия коэффициентов растяжения и относительного удлинения отрезков.

Коэффициент растяжения :

Коэффициент относительного удлинения :

Коэффициенты растяжения и относительного удлинения рассматриваемого отрезка равны соответственно

 

 

Кроме того,

 

 

Поделив обе части последнего равенства на , получим

Таким образом,

 

 

или

 

(4.4)

 

В случае малых деформаций , , поэтому с точностью до малых первого порядка

 

(4.5)

 

Вид соотношения (4.5) объясняет, для чего введен множитель в формулах (4.2), определяющих компоненты тензора деформаций. Без этого множителя в случае малых деформаций было бы , что представляется менее естественным.

Рассматривая отрезки, лежавшие до деформации параллельно осям или , получим формулы, аналогичные (4.4), (4.5). Итак,

 

 

то есть () определяются относительными удлинениями отрезков, которые до деформации были параллельны соответственно координатным осям .

В случае малых деформаций , то есть () равны относительным удлинениям отрезков, которые до деформации были параллельны соответственно осям .

Выясним теперь механический смысл компонент тензора деформаций при . Из определения компонент следует, что:

 

(4.6)

 

где – соответственно коэффициенты растяжения и относительного удлинения отрезка, до деформации параллельного координатной оси , а – разность между первоначально прямым углом между отрезками, которые до деформации были параллельны соответственно осям и , и углом между этими отрезками после деформации (рисунок 4.4):

 

.

 

 

 

 

Рисунок 4.4 – Изменение угла между материальными отрезками при деформации

 

При малых деформациях и малы, поэтому с точностью до малых высшего порядка верны формулы

 

при .

(4.7)

 

Эти формулы используются в теории малых деформаций. Итак, в случае малых деформаций , , – это коэффициенты относительных удлинений отрезков, параллельных координатным осям, а при равны половинам величин изменения углов между отрезками, которые до деформации были параллельны соответственно осям и . В простейшем двумерном случае малые деформации проиллюстрировать на примере квадрата.

 

Тело до деформации

Растяжение-сжатие

Сдвиг

 

Рисунок 4.5 – Геометрическая интерпретация тензора малых деформаций

 

Величина относительного изменения малого объема в случае малых деформаций определяется формулой:

 

(4.8)

 

где - первый инвариант тензора деформаций. В декартовых координатах

 

.

(4.9)