Численное решение оптимизационных задач

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют определить наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов, минимальный урон природной среде и т. п. В процессе решения задачи оптимизации необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров (их называют проектными). Выбор оптимального решения проводится с помощью некоторой функции, называемой целевой. Целевую функцию можно записать в виде

, (3.10)

где х ₁, х ₂, …, х_п – проектные параметры.

Можно выделить 2 типа задач оптимизации – безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума функции (3.10) от п действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве G n -мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный. Условные задачи оптимизации – это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве G.

Для поиска экстремумов в MathCad имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

- Minimize (f, xi,...,х_м) - вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

- Maximize (f, xi,...,х_м) - вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума; f(xi,...,х_м,...)-функция; xi,...,х_м- аргументы, по которым производится минимизация(максимизация). Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения

Пример. Найти координату и минимальное значение функции одной переменной

на отрезке [-1.0; 0.0]

Текст документа MathCAD

Пример. Найти и вывести на печать координаты и минимальное значение функции двух переменных при погрешностях 10^-2, 10^-20 функции двух переменных f (x, y) = , если начальная точка поиска имеет координаты М₀ (0.5;.5).

 

Текст документа MathCAD

погрешность= 10^-2

 

 

погрешность= 10^-20

 

 

Вывод: Я научился решать оптимизационные задачи 2-х типов: безусловные и условные

 

Общий вывод: Янаучился пользоваться простейшими методами вы­числений в математической системе MathCAD, которая является одной из самых мощных и эффективных математических систем.В процессе выполнения работы я заметил, что MathCAD остается единственной системой, в которой описание решия математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. MathCAD позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики.

 

Литература

1. Mathcad 6.0 Plus. Финансовые, инженерные и научные расчеты в сре­де Windows 95./Перевод с англ. - М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”, 1996. -712 с.

2. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. - М.: “СК Пресс”, 1997. - 336 с.: ил.

3. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в математике, фи­зике и Internet. - М.: “Нолидж”, 2000. - 512 с.: ил.

4. Кудрявцев Е.М. MathCAD 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 576 с.: ил.

5. Очков В. Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.: Компью­терПресс, 1998. - 384 с.: ил.

6. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высш. шк., 2000. - 716 с.: ил.