Численное дифференцирование и интегрирование в математическом моделировании, вычисление интегралов методом прямоугольников.

Задание:

1) Вычислить интеграл методом левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов.

2) Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников используя для оценки точности двойной просчет при n ₁=S, n ₂=10.

Теоретическая часть.

Вычисление определенного интеграла исторически обусловлено задачей расчета площадей различных фигур. Согласно “теореме о среднем” определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке "x i " этого отрезка:

 

 

 

f ( )

 

 

a b

,где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования.

Таким образом, определённый интеграл равен площади прямоугольника с основанием длиной и высотой Здесь значение , а значит и неизвестно. Однако, если отрезок интегрирования разбить на много малых отрезков , в которых значение функции можно принять постоянным, то

где

Вычисление определенного интеграла по приведенной выше формуле называется численным интегрированием. Численное интегрирование применяют при решении различных задач, например: при определении площадей сложных геометрических фигур, определении работы сил, расчете длины траектории точки и в других случаях, когда подынтегральная функция "f(x)"задана по точкам, имеет сложное аналитическое выражение или ее первообразная не определяется аналитически. Сущность численных методов интегрирования состоит в различной замене (интерполяции) сложной подынтегральной функции на малых отрезках простой функцией, либо в представлении подынтегральной функции в виде сходящегося бесконечного ряда.

Рассмотрим методы численного интегрирования, основанные на интерполяции подынтегральной функции на малых отрезках равной длины различными видами функций: постоянной, линейной, квадратичной и кубической. Формулы численного интегрирования, получаемые при различных интерполяциях подынтегральной функции, называются квадратурными.

При равномерном разбиении отрезка [a, b] на “N” малых отрезков (интервалов) необходимо определять значения функции в “M” точках внутри отрезка [a, b].

Метод прямоугольников основан на интерполяции функции на малом отрезке постоянным значением. Кривую на каждом малом интервале “h” заменяют горизонтальной линией, пересекающей кривую в середине отрезка, при этом M=N. Интеграл вычисляется по формуле:

; - на одном отрезке.

Здесь

 

Метод трапеций состоит в том, что кривую f(x) на каждом малом интервале "h" заменяют отрезком прямой, соединяющим точки кривой f(x) на краях этого интервала, при этом M=N - 1. Интеграл вычисляется по формуле:

Здесь

Метод Симпсона основан на интерполяции функции на малом отрезке квадратичной параболой, проходящей через крайние и среднюю точки кривой f(x). При этом M=2 * N - 1, а интеграл вычисляется по формуле:

.

Здесь

Варианты заданий

№1. 1) 2)

№2. 1) 2)

№3. 1) 2)

№4. 1) 2)

№5. 1) 2)

№6. 1) 2)

№7. 1) 2)

№8. 1) 2)

№9. 1) 2)

№10. 1) 2)

№11. 1) 2)

№12. 1) 2)

№13. 1) 2)

№14. 1) 2)

№15. 1) 2)

№16. 1) 2)

№17. 1) 2)

№18. 1) 2)

№19. 1) 2)

№20. 1) 2)

№21. 1) 2)

№22. 1) 2)

№23. 1) 2)

№24. 1) 2)

№25. 1) 2)

№26. 1) 2)

№27. 1) 2)

№28. 1) 2)

№29. 1) 2)

№30. 1) 2)

 

Образец выполнения задания.

№1. 1) 2)

Пример вычисления интегралов методом левых и правых прямоугольников

 

Для вычислений по формулам левых и правых прямоугольников при n =10 разобьем отрезок интегрирования на 10 частей с шагом

.

Составим таблицу значений подынтегральной функции в точках деления отрезка (см. таб. 4):

Таблица 4

i	xi	0,3xi+1,2			1,6xi+	yi
	1,5 1,58 1,66 1,74 1,82 1,90 1,98 2,06 2,14 2,22 2,30	1,65 1,674 1,698 1,722 1,746 1,77 1,794 1,818 1,842 1,866 1,89	1,2845 1,2938 1,3031 1,3122 1,3214 1,3304 1,3394 1,3483 1,3572 1,3660 1,3748	1,6583 1,7310 1,8043 1,8782 1,9525 2,0273 2,1025 2,1780 2,2538 2,3299 2,4062	4,0583 4,2590 4,4603 4,6622 4,8545 5,0673 5,2705 5,4740 5,6778 5,8819 6,0862	0,3165 0,3037 0,2922 0,2815 0,2716 0,2626 0,2541 0,2463 0,2390 0,2322 0,2259

В таблице найдены значения сумм: ; .

Найдем приближенные значения интеграла. По формуле левых прямоугольников получим

I₁=h = 0,08 2,6997 = 0,2158.

По формуле правых прямоугольников находим

I₂=h = 0,08 2,6091 = 0,2087.

Эти результаты отличаются уже в сотых долях. За окончательное значение примем полусумму найденных значений, округлив результат до тысячных:

I= .

Пример вычисления интегралов методом средних прямоугольников

Для решения воспользуемся формулой средних прямоугольников:

Вычисления выполним дважды при n₁=8 и при n₂=10 и соответственно при h₁=(b - a)/n₁ = (1,2 - 0,4)/8 = 0,1 и h₂=(b - a)/n₂ = (1,2 - 0,4)/10 = 0,08. Результаты вычислений приведены в таблицах 5 и 6

 

Таблица 5

i	xi	xi+	sin(0,6х+0,3)	1,7+cos(x2+1.2)	y(xi+ )
	0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1	0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95 1,05 1,15	0,53963 0,58914 0,63654 0,68164 0,72429 0,76433 0,80162 0,83603	1,86750 1,76824 1,64832 1,05947 1,35550 1,19300 1,03186 0,88559	0,28896 0,33318 0,38618 0,45158 0,53433 0,64068 0,77687 0,94404

 

Таблица 6

i	xi	xi+	sin(0,6х+0,3)	1,7+cos(x2+1.2)	y(xi+ )
	0,4 0,48 0,56 0,64 0,72 0,80 0,88 0,96 1,04 1,12	0,44 0,52 0,60 0,68 0,76 0,84 0,92 1,00 1,08 1,16	0,53457 0,57451 0,61312 0,65032 0,68602 0,72014 0,75260 0,78333 0,81225 0,83930	1,87627 1,80022 1,71080 1,60852 1,49467 1,37142 1,24212 1,11150 0,98571 0,87241	0,28491 0,31913 0,35838 0,40430 0,45898 0,52511 0,60590 0,70475 0,82403 0,96205

 

Найдем приближенные значения интеграла

I₁ = h₁ 0,1 4,35582 = 0,43558;

I₂ = h₂ 0,08 5,44754 = 0,43580.

Значения различаются в десятичных долях, но второе значение точнее первого, поэтому принимаем I 0,4358.

Контрольные вопросы

1. Объяснить уменьшение погрешности нахождения интеграла в методе прямоугольников.

2. Объяснить в каких случаях находит применение метод треугольника.

3. Обосновать возможность получения методом прямоугольников точного значение интеграла.

4. Объяснить влияние на точность интегрирования величины шага h.

5. Приведите шаблон формулы метода прямоугольников и саму формулу.

Лабораторная работа 4