Исследование общего уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Уравнение прямой в пространстве.

Лекция № 7

Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости.

Исследование общего уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Уравнение прямой в пространстве.

Будем рассматривать поверхность, как геометрическое место точек. Уравнение , которому удовлетворяют координаты точек поверхности, называется уравнением этой поверхности. Уравнения поверхности составляются на основании определения или свойств, присущих этой поверхности.

Пример: Составить уравнение поверхности, все точки которой, равноудалены от одной точки . В декартовых координатах это уравнение имеет вид: (1)

где – расстояние от точки О до произвольной точки поверхности.

Уравнение (1) называется уравнением сферы.

 

Уравнение плоскости

z

Пусть дана плоскость и на ней

некоторая фиксированная точка

М . Проведем вектор ,

перпендикулярный данной плоскости.

Вектор называется нормальным

вектором плоскост и или вектором нормали.

Пусть - произвольная точка, лежащая на плоскости .

Составим вектор , при любом расположении точки он перпендикулярен вектору . Иначе говоря, точка М, лежащая на плоскости характеризуется условием:

В этом случае . Отсюда имеем:

(2)

Это есть искомое уравнение плоскости , так как ему удовлетворяют координаты точки М.

Раскрывая скобки в уравнении (2) получим:

или (3)

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.

В уравнении плоскости переменные х, у, z входят в первой степени. Следовательно, в декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Пример: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Решение: Согласно уравнению (2) искомое уравнение имеет вид:

или .

 

Уравнение плоскости «в отрезках»

 

Пусть дано уравнение плоскости:

Перепишем это уравнение:

Разделим обе части на , получим:

или

Обозначая:

получим:

(4)

Уравнение (4) называется уравнением плоскости «в отрезках». Числа - это величины отрезков, которые отсекает данная плоскость на координатных осях.

 

Пример: Составить уравнение плоскости, зная, что она отсекает на осях координат отрезки, равные .

Решение: На основании (4) получим:

или .

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Составим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки и .

Пусть точка - произвольная точка искомой плоскости. Образуем векторы , и . Так как эти векторы лежат в одной плоскости, значит они компланарны. Используя условие компланарности векторов, получим:

или

(5)

Это есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки .

Решение. Используя формулу (5) уравнения плоскости, проходящей через три точки

Получим

,

или .

Окончательно будем иметь

.

Лекция № 7

Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости.

Исследование общего уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Уравнение прямой в пространстве.

Будем рассматривать поверхность, как геометрическое место точек. Уравнение , которому удовлетворяют координаты точек поверхности, называется уравнением этой поверхности. Уравнения поверхности составляются на основании определения или свойств, присущих этой поверхности.

Пример: Составить уравнение поверхности, все точки которой, равноудалены от одной точки . В декартовых координатах это уравнение имеет вид: (1)

где – расстояние от точки О до произвольной точки поверхности.

Уравнение (1) называется уравнением сферы.

 

Уравнение плоскости

z

Пусть дана плоскость и на ней

некоторая фиксированная точка

М . Проведем вектор ,

перпендикулярный данной плоскости.

Вектор называется нормальным

вектором плоскост и или вектором нормали.

Пусть - произвольная точка, лежащая на плоскости .

Составим вектор , при любом расположении точки он перпендикулярен вектору . Иначе говоря, точка М, лежащая на плоскости характеризуется условием:

В этом случае . Отсюда имеем:

(2)

Это есть искомое уравнение плоскости , так как ему удовлетворяют координаты точки М.

Раскрывая скобки в уравнении (2) получим:

или (3)

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости.

В уравнении плоскости переменные х, у, z входят в первой степени. Следовательно, в декартовых координатах каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Пример: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно вектору .

Решение: Согласно уравнению (2) искомое уравнение имеет вид:

или .