Особенности неявно заданных функций и их графическое отображение.

Если уравнение кривой F(x, y) = 0 не меняется при замене х на –х, то кривая симметрична относительно оси ординат.

Если уравнение кривой F(x, y) = 0 не меняется при замене у на – у, то кривая симметрична относительно оси абсцисс.

Если уравнение кривой F(x,y)=0 не меняется при одновременной замене х на –х и у на – у, то кривая симметрична относительно начала координат.

Если уравнение кривой F(x,y)=0 не меняется при замене у на х, а х на у, то кривая симметрична относительно биссектрисы у=х.

Точки пересечения кривой F(х, у)=0 с осями координат. Точки пересечения с осью абсцисс — это решения системы уравнений

Точки пересечения с осью ординат — это решения системы уравнений

Другие точки графика.

Для более точного построения графика кривой F (x, у) иногда полезно найти отдельные точки этой кривой, не ле­жащие на координатных осях. Такие дополнительные точки целе­сообразно искать как точки пересечения кривой с прямыми у=kx при различных значениях k.

Если уравнения кривой F(х, у)=0 можно преобразовать к виду

то координаты точек пересечения, кривых

удовлетворяют уравнению начальной кривой и, следовательно, при­надлежат ей.

Асимптоты кривой F(х, у)=0.

Для нахождения горизонтальных асимптот кривой F(х, у)= 0 приравнивают нулю коэффициент при высшей степени х, входящей в уравнение; причем если этот коэффи­циент — постоянная величина, то горизонтальных асимптот нет.

Для нахождения вертикальных асимптот кривой F(х, у)= 0 при­равнивают нулю коэффициент при высшей степени у, входящей в уравнение этой кривой.

Для нахождения наклонных асимптот кривой F(х, у)= 0 надо в уравнении кривой заменить у на kx + b, приравнять нулю коэф­фициенты при двух высших степенях х и полученную систему решить относительно k и b.

 

Параметрически заданная функция.

Функция задана параметрически, если каждая координата x и y является функцией некоторой переменной t

где t – параметр, .

В этом случае исследование и построение графика функции проводятся также, как для функции, заданной уравнением Сначала строят графики функций и соответственно в системах координат . Учитывая графическое изображение функций и , исследуют функцию .

Особенности параметрически заданных функций и их графическое отображение.

График симметричен относительно оси ординат Oy, если при замене переменной t на –t не меняется значение у, а х переходит в –х.

График функции симметричен относительно оси абсцисс, если при замене переменной t на –t не меняется значение х, а у переходит в –у;

Период функции определяется по периодам функций и .

Точки пересечения с осями координат.

Для нахождения точек пересечения графика функции с осью абсцисс надо найти те значения t, при которых у=0 (решаем уравнение и находим соответствующее значение ; аналогично находим точки пересечения с осью ординат.

Другие точки графика.

Иногда целесообразно определять точки пересечения графика с биссектрисами координатных углов у=х и у= -х, для чего решают соответственно уравнения

,

откуда находят значения t и для них значения функций , которые при найденных t и дадут коор­динаты искомых точек.

В простейших случаях можно строить графики параметрически заданных функций по точкам.

 

 

Задания.

 

№ 1. Исследовать асимптоты кривой

1. х²у² + у⁴ — 16 х² = 0.

Решение.

Переписываем уравнение в виде

(у² — 16) х² + у⁴ = 0.

Приравниваем нулю коэффициент при х²:

у² — 16 = 0,

откуда у – 4 = 0 и у + 4 = 0 — горизонтальные асимптоты рассмат­риваемой кривой.

 

1. Зу² — ху² — 5 х²у = 0

Решение.

Действительно, переписываем уравнение в виде

(З — х)у² — 5 х²у = 0,

откуда 3 — х = 0 вертикальная асимптота, у= 0 - горизонтальная асимптота.

 

1. х³ + у³ – 3х² = 0

Решение.

Ищем наклонные асимптоты.

заменяем в уравнении кривой у на kx + b:

х³ + (kx + b)³ – 3х² = 0,

(1+k³)х³ + 3(bk²-1)х² - 3bkx– 3х² = 0.

Решаем систему

Откуда k = —1, b= 1. Следовательно, у = - x + 1 — наклонная асимптота рассматриваемой кривой.

 

№ 2. Исследовать и построить график неявно заданной функции

1.

Решение.

Для нахождения области определения неявно заданной функций решаем заданное уравнение относительно у. Получаем

и

т. е. имеем две ветви кривой. В области определения обеих ветвей должно выполняться неравенство

или

справедливое для . Для точек второй ветви необходимо, чтобы , или что возможно лишь при условии

Следовательно, область определения первой ветви: , область определения второй ветви: [—1; 1].

Кривая симметрична относительно осей координат. Горизонталь­ных и вертикальных асимптот она не имеет, поскольку коэффициенты при высших степенях х и у в уравнении постоянные. Находим наклонные асимптоты. Имеем

Приравниваем нулю коэффициенты при x⁴, х³ и получаем

откуда k = ± 1, b = 0.

Следовательно, прямые у = х и у = -х - наклонные асимптоты рассматриваемой кривой.

Рассмотрим несколько дополнительных точек кривой. Для этого решим систему уравнений

при различных значениях k:

Эскиз графика представлен на рис. 320.

 

2.

Решение.

Построить график функции

Решаем уравнение относительно y:

Функция определена при х 1. Кривая симметрична относительно оси абсцисс. Кривая асимптот не имеет.

Для построения графика верхней ветви кривой записываем функ­цию с помощью промежуточного аргумента t:

По графикам этих функций строим график верхней ветви кри­вой, а отобразив последнюю относительно оси абсцисс, получим график и нижней ветви кривой (рис. 321).

 

3.

 

№ 3. Исследовать и построить график параметрически заданной функции

1.

Решение.

Составим таблицу значений:

t					-1	-2	-3
x
y					-1	-8	-27

 

 

Построив найденные точки (x; у), полу­чим искомую кривую.

 

1. 

Решение.

В системе координат tOх строим график функции (рис. 2, а), а в системе координат tOy — график функции (рис. 2, б).

Теперь проводим исследование функции у=у(х).

 

Область определения (см. рис. 2, а): (-∞; ∞). Область значений (см. рис. 2, б): (- ∞; 1].

Поскольку y(-t)=y(t), то t=0, т. е. x=1 - ось симметрии. Предельные значения функции:

Точки пересечения с осями координат:

а) с осью ординат; решаем уравнение х=0, т.е. 1-t=0, откуда t=1; значение функции при t=1 равно у=0; с ледовательно, график функции у=у(х) пересекает ось ординат в точке (0; 0);

б) с осью абсцисс; решаем уравнение y=0, т. е. , получаем t= , соответственно , ; точки пересечения графика функции у = у(х) с осью абсцисс: О(0;0), С (2;0).

Точки пересечения с биссектрисами координатных углов:

а) с биссектрисой y=x; решаем уравнение откуда ; следовательно, график функции y=y(x) пересекает биссектрису y=x в точках D(1;1) и O(0;0);

б) с биссектрисой y= -x; решаем уравнение или откуда ; следовательно, с биссектрисой y= -x график функции y=y(x) пересекается в точках О(0;0) и Е(3;-3).

Теперь выполняем построение графика функции у=у(х): проводим прямую у= 1 (график функции у = у (х) располагается ниже этой прямой), далее обозначим точки пересечения графика функции у = у (х) с осями координат и биссектрисами координатных углов: О, С, D, Е. График функции представлен на рис. 2, в.

 

3.

4.

5.

1. х = 2а cos t — a cos 2t, у = 2а sin t — a sin 2t (кардиоида)

Решение.

Строим графики функций х = 2а cos t — a cos 2t,у = 2а sin t — a sin 2t.

Исследуем функцию y=y(x ). Область определения функции: [—За; а]. Область значений функции: [—2а; 2а]. График функции симметричен относительно оси абсцисс. Поскольку функции х = 2а cos t — a cos 2t, у = 2а sin t — a sin 2t периодические с периодом 2π, то и функция y=y(x) периодическая с периодом 2 π. Предельные значения функции у=у(х) на концах отрезка [0; 2 ] равны нулю. График представлен на рис. 276.

 

Занятие 15.

 

Тема занятия: «Полярные координаты. Графики функций в полярных координатах.»

 

План занятия.

1. Знакомство с теоретическим материалом.
2. Разбор заданий под руководством преподавателя.

 

Методические материалы.

 

Полярные координаты.

и