Приложения геометрического вектора

Доказательство.

,

Следствие 1.1. Проекция вектора на ось положительная (отрицательная), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.

Следствие 1.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

 

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.

.

Свойство 3. При умножении вектора на число l его проекция на ось также умножается на это число, т.е.

.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Решение.

Выбираем произвольно оси координат и , где точка − начала системы координат.

 

Приложения геометрического вектора

Декартовы прямоугольные координаты вектора.

Линейные операции над векторами

Линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

1. При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), т.е.

. (2.8)

2. При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр, т.е.

. (2.9)

 

Равенство векторов

 

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора и равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: , т.е.

.

 

Операции сумма, разность двух векторов и умножение вектора на число, а также и равенство векторов, можно обобщить на n -мерный вектор.

 

Пример 2.1. Найти координаты и длину вектора , если . Найти координаты орта вектора .

Решение. Согласно формулам (2.8) и (2.9) находим координаты вектора :

.

По формуле (2.3) находим длину вектора :

.

Координаты орта (единичного вектора) вектора находятся по следующим формулам:

,

, , .

Тогда получаем

, , .

Таким образом,

,

 

Коллинеарность векторов

 

Выясним условие коллинеарности векторов и , заданных своими координатами.

Так как , то можно записать , где l - некоторое действительное число. То есть

.

Отсюда

,

т.е.

или .

Значит, координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты соответственно пропорциональны, т.е.

.

 

Пример 2.2. Коллинеарны ли векторы и , построенные на векторах , если и ?

Решение. Коллинеарность векторов и означает пропорциональность их координат. Имеем

, .

Так как , т.е. координаты векторов и не пропорциональны, следовательно, эти векторы не коллинеарны.

,

 

Радиус-вектор. Координаты точки.

Решение.

 

Линейно зависимые и линейно независимые

Системы векторов

 

Выше были введены операции над векторами, находящимися на плоскости () или в 3-х-мерном пространстве (). Так же было определено понятие «n -мерный вектор», и введены операции над ними в n -мерном пространстве.

Если мы в n -мерном пространстве рассматриваем точку , то этой точке можно поставить в соответствие радиус-вектор . Можно сформулировать и обратное утверждение: каждому радиус-вектору ставиться в соответствие точка , т.е.

.

Теперь можно ввести корректное понятие «n -мерное векторное пространство».

 

Определение 6.1. Множество всех n -мерных векторов, в котором для любых двух векторов определена их сумма, и для любого действительного числа определено произведение вектора на это число, называется действительнымn-мерных векторным арифметическим пространством .

Если в n -мерном векторном пространстве введена операция скалярного умножения, то оно называется евклидовым пространством.

 

Надо отметить, что любую совокупность векторов пространства можно считать как систему векторов.

 

Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.

Определение 6.2. Вектор называется линейной комбинациейвекторов системы , если существуют такие числа , что

. (6.1)

 

Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае говорят, что вектор линейно выражается через систему векторов или вектор разложен по векторам системы . Введением понятия линейной комбинации мы объединили понятия сложения векторов и умножения вектора на число.

Определение 6.3. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

. (6.2)

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

 

Приведем теоремы (без доказательства), устанавливающие условия линейной зависимости векторов на плоскости и в 3-х-мерном пространстве.

Теорема 6.1. Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, а два неколлинеарных вектора линейно независимы.

Теорема 6.2. Три компланарных вектора линейно зависимы, а три некомпланарных вектора линейно независимы.

 

Пример 6.1. Выяснить, будет ли данная система векторов линейно зависимой или независимой

.

Решение. Составим их линейную комбинацию:

или

.

 

Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

.

 

Составляем матрицу системы и приводим к ступенчатому виду:

~ ~ .

 

Последняя матрица равносильна следующей системе уравнений:

Можно не решая системы уравнений сказать, что система имеет бесчисленное множество решений, среди которых есть ненулевое. Значит, система векторов линейно зависима.

Например, частным решением является: . Значит, , т.е. указанная система векторов линейно зависима.

,

 

Базис системы векторов.

Доказательство.

,

Следствие 1.1. Проекция вектора на ось положительная (отрицательная), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.

Следствие 1.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

 

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.

.

Свойство 3. При умножении вектора на число l его проекция на ось также умножается на это число, т.е.

.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Решение.

Выбираем произвольно оси координат и , где точка − начала системы координат.

 

Приложения геометрического вектора